Chủ đề này có 1 trả lời

[Juliel]

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BC=a,AB=AC=b$, biết $\widehat{A}=\dfrac{\pi }{7}$. Chứng minh rằng :

$$a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0$$

[thuan192]

 

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BC=a,AB=AC=b$, biết $\widehat{A}=\dfrac{\pi }{7}$. Chứng minh rằng :

$$a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0$$

 

Áp dụng công thức hàm cos ta có $b^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos\left ( \frac{3\Pi }{7} \right )\Rightarrow \frac{a}{b}=2cos\left ( \frac{3\Pi }{7} \right )$

Ta có: $a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{b} \right )^{4}-3\left ( \frac{a}{b} \right )^{2}-\left ( \frac{a}{b} \right )+1=0$

Do đó ta cần chứng minh $16\alpha ^{4}-12\alpha ^{2}-2\alpha +1=0$ với $\alpha =cos\frac{3\Pi }{7}$

                               $\Leftrightarrow 2\left ( 8\alpha ^{4}-8\alpha ^{2}+1 \right )+2\left ( 2\alpha ^{2}-1 \right )-2\alpha =-1$

                               $\Leftrightarrow 2cos\frac{12\Pi }{7}+2cos\frac{6\Pi }{7}-2cos\frac{3\Pi }{7}=-1$

                               $\Leftrightarrow  cos\frac{\Pi }{7}-cos\frac{2\Pi }{7}+cos\frac{3\Pi }{7}=\frac{1}{2}$

Mà ta có:

 $sin\frac{\Pi }{7}\left ( cos\frac{\Pi }{7}-cos\frac{2\Pi }{7}+cos\frac{3\Pi }{7} \right )=sin\frac{\Pi }{7}cos\frac{\Pi }{7}-sin\frac{\Pi }{7}cos\frac{2\Pi }{7}+sin\frac{\Pi }{7}cos\frac{3\Pi }{7}$

$=\frac{1}{2}\left ( sin\frac{\Pi }{7}+sin\frac{4\Pi }{7}-sin\frac{3\Pi }{7} \right )=\frac{1}{2}sin\frac{\Pi }{7}$

(Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho từng tích và $sin\frac{3\Pi }{7}=sin\frac{4\Pi }{7}$)

Vậy ta có điều phải chứng minh