Chủ đề này có 4 trả lời

[pdtienArsFC]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2abc+1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)$

(Câu 5 đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2013-2014 lớp 11)

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2abc+1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)$

(Câu 5 đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2013-2014 lớp 11)

- Thay $2abc=1-a^2-b^2-c^2$ 

Ta có :$P.abc=(a^2-2abc)(b^2-2abc)(c^2-2abc)=(a^2-a^2-b^2-c^2+1)(b^2-b^2-c^2-a^2+1)(c^2-c^2-a^2-b^2+1)=(1-a^2-b^2)(1-b^2-c^2)(1-c^2-a^2)$

+Nếu $1-a^2-b^2< 0,1-b^2-c^2< 0,1-c^2-a^2< 0= > P.abc< 0= > P< 0$

+Nếu $(1-a^2-b^2)+(1-b^2-c^2)+(1-c^2-a^2)> 0$

Theo AM-GM có:$(1-a^2-b^2)(1-b^2-c^2)(1-c^2-a^2)\leq \frac{(3-2(a^2+b^2+c^2))^3}{27}$

Mà $a^2+b^2+c^2=2abc+1\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}= > abc\geq 1= > a^2+b^2+c^2\geq 3$

$= > P\leq -1$

[nguyen anh mai]

làm sao tìm điều kiện của abc đó bạn 

[Louis Lagrange]

- Thay $2abc=1-a^2-b^2-c^2$ 

Ta có :$P.abc=(a^2-2abc)(b^2-2abc)(c^2-2abc)=(a^2-a^2-b^2-c^2+1)(b^2-b^2-c^2-a^2+1)(c^2-c^2-a^2-b^2+1)=(1-a^2-b^2)(1-b^2-c^2)(1-c^2-a^2)$

+Nếu $1-a^2-b^2< 0,1-b^2-c^2< 0,1-c^2-a^2< 0= > P.abc< 0= > P< 0$

+Nếu $(1-a^2-b^2)+(1-b^2-c^2)+(1-c^2-a^2)> 0$

Theo AM-GM có:$(1-a^2-b^2)(1-b^2-c^2)(1-c^2-a^2)\leq \frac{(3-2(a^2+b^2+c^2))^3}{27}$

Mà $a^2+b^2+c^2=2abc+1\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}= > abc\geq 1= > a^2+b^2+c^2\geq 3$

$= > P\leq -1$

Hoàng Tùng Bạn làm sai rồi nhé. xem tại đây 

http://www.wolframal..., a>0, b>0, c>0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Louis Lagrange: 01-09-2015 - 21:14

[longatk08]

Ta chỉ cần xét khi mà $(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)>0$

 

Khi đó tồn tại ít nhất 1 trong 3 số $(a-2bc),(b-2ca),(c-2ab)$ dương.Ta có quyền giả sử $a-2bc>0$

 

Từ giả thiết ta có $1+2abc=a^2+b^2+c^2 \geq a^2+2bc \Leftrightarrow (a-1)(a-2bc+1)\leq 0\Leftrightarrow a\leq 1$ (do $a-2bc>0$)

 

Lại có $(b-2ac)(c-2ab)=bc-2a(b^2+c^2)+4bca^2\leq bc-4abc+4bca^2=bc(2a-1)^2\leq bc$

 

Vậy $P \leq bc(a-2bc) = \frac{1}{2}.2bc.(a-2bc)$

 

Áp dụng BĐT AM-GM thì có ngay $P \leq \frac{a^2}{8} \leq \frac{1}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 05-09-2015 - 17:27