Chủ đề này có 6 trả lời

[Lee Sr]

1)Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n!$ tận cùng bằng $1987$ chữ số $0$
2)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
$$(y+1)^{x}=y!+1$$

[thedragonknight]

1)Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n!$ tận cùng bằng $1987$ chữ số $0$
2)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
$$(y+1)^{x}=y!+1$$

Làm trước câu 1 nhá

Ta có: $n!\vdots 10^{1987}$. Suy ra $n!\vdots 2^{1987}$ và $n!\vdots 5^{1987}$

Suy ra $x_{1};x_2\geq 1987$ với $x_1;x_2$ lần lượt là số mũ của $2;5$ trong phân tích $n!$ ra thừa số nguyên tố. Ta cần tìm $n$ nhỏ nhất thỏa điều này nên $x_1=1987$ hoặc $x_2=1987$ mà $x_1>x_2$. Do đó $x_2=1987$

Khi đó ta có $\sum_{i=1}^{k}[\frac{n}{5^i}]=1987$

Ta có $\sum_{i=1}^{k}[\frac{n}{5^i}]\geq [\frac{n}{5}]\Rightarrow 1987\geq [\frac{n}{5}]\Rightarrow 1988.5\geq n$

Khi đó: $\sum_{i=1}^{5}[\frac{n}{5^i}]=1988$

Suy ra $\sum_{i=1}^{5}\frac{n}{5^i}\geq 1987\Rightarrow n\geq 7951$

Mặt khác: $\sum_{i=1}^{5}\frac{n}{5^i}-5\leq 1987\Rightarrow n\leq 7970$

Tới đấy ta thử trực tiếp tìm đc $n=7960$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-04-2013 - 18:24

[nguyenta98]

1)Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n!$ tận cùng bằng $1987$ chữ số $0$
2)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
$$(y+1)^{x}=y!+1$$

Giải như sau:

Trước tiên suy ra $y+1$ là số nguyên tố vì nếu $y+1$ là hợp số thì $y! \vdots (y+1)$ khi ấy $1 \vdots y+1$ vô lí

Như vậy $y+1$ nguyên tố thì giải như bài sau:

http://diendantoanho...left-y-1-right/

[barcavodich]

Mở rộng bài toán

Xác định $(x,y)\epsilon N^*$ thỏa mãn $x!+y!=x^y$

Giải như sau

Với $(x,y)\epsilon [1,2]$ ta xét

Với $x=1$,$y=1$ phương trình vô nghiệm

Với $x=1$,$y=2$ phương trình vô nghiệm

Với $x=2$,$y=2$ phương trình vô nghiệm

Vói $(x,y)\geq 2$

Ta gọi $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của min$(x,y)$

$\Rightarrow min(x,y)\leq 2p$

Vì $p\leq x,p\leq y$ nên $p|x!+y!$

KMTTQ giả sử min$(x,y)=x$ $\Rightarrow x<2p$

từ đây suy ra $p=x$

Lại có khi $x\geq 2,y\geq 2\Rightarrow 2|x!+y!\Rightarrow 2|x^y\Rightarrow 2|x\Rightarrow x=2$

thay vào ta có $2+y!=2^y$

$\Rightarrow y!=2(2^{y-1}-1)$

$\Rightarrow y\leq 3$ (vì $2^{y-1}$ lẻ)

Nên $(2,2),(2,3)$ là nghiệm

[thedragonknight]

Mở rộng bài toán

Xác định $(x,y)\epsilon N^*$ thỏa mãn $x!+y!=x^y$

Giải như sau

Với $(x,y)\epsilon [1,2]$ ta xét

Với $x=1$,$y=1$ phương trình vô nghiệm

Với $x=1$,$y=2$ phương trình vô nghiệm

Với $x=2$,$y=2$ phương trình vô nghiệm

Vói $(x,y)\geq 2$

Ta gọi $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của min$(x,y)$

$\Rightarrow min(x,y)\leq 2p$

Vì $p\leq x,p\leq y$ nên $p|x!+y!$

KMTTQ giả sử min$(x,y)=x$ $\Rightarrow x<2p$

từ đây suy ra $p=x$

Lại có khi $x\geq 2,y\geq 2\Rightarrow 2|x!+y!\Rightarrow 2|x^y\Rightarrow 2|x\Rightarrow x=2$

thay vào ta có $2+y!=2^y$

$\Rightarrow y!=2(2^{y-1}-1)$

$\Rightarrow y\leq 3$ (vì $2^{y-1}$ lẻ)

Nên $(2,2),(2,3)$ là nghiệm

Bài giải của bạn có 1 số chỗ chưa hợp lý. VD ko thể giả sử $min(x;y)=x$

[barcavodich]

Xin lỗi nha

Để mình bổ sung thêm

Giả sử $y\geq x$

$ x!+y!=y!(x(x-1)...(y+1)+1) $

Nhưng rõ ràng $ gdc(x(x-1)...(y+1)+1,x)=1 $

Nên $x(x-1)...(y+1)+1$ không thể là ước của $x^y$

từ đây ta quay lại T.HỢP $x\leq y$ xét như trên 

[PSW]

Chấm bài:

thedragonknight: 10 điểm

 

nguyenta98: 10 điểm

 

barcavodich: 5 điểm