Chủ đề này có 6 trả lời

[hoaadc08]

Cho a , b, c > 0 và abc = 1 . Tìm GTNN của : $E=\frac{1}{\left ( 1+a\right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+b\right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+c\right )^{2}}$

[buitudong1998]

Cho a , b, c > 0 và abc = 1 . Tìm GTNN của : $E=\frac{1}{\left ( 1+a\right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+b\right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+c\right )^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức sau: $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+ab}$ (Biến đổi tương đương)

Do đó: $E\geqslant \frac{1}{1+\frac{1}{c}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}=\frac{c(c+1)+1}{(1+c)^{2}}\geqslant \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 21-04-2014 - 20:45

[hoctrocuanewton]

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$\sum \frac{1}{(1+a)^{2}}\geqslant \frac{1}{2}.\sum \frac{1}{1+a^{2}}= \frac{1}{2}.\sum (1-\frac{a^{2}}{a^{2}+1})\geqslant \frac{1}{2}.\sum (1-\frac{a}{2})=\frac{1}{2}.(3-\frac{a+b+c}{2})\geqslant \frac{1}{2}.(3-\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2})=\frac{3}{4}$

[lahantaithe99]

Áp dụng bất đẳng thức sau: $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geqslant \frac{2}{1+ab}$ (Biến đổi tương đương)

Do đó: $E\geqslant \frac{2}{1+\frac{1}{c}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}=\frac{2c(c+1)+1}{(1+c)^{2}}\geqslant \frac{3}{4}$

BĐT này sai. Chỗ $\frac{2}{ab+1}$ phải là $\frac{1}{ab+1}$

 

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$\sum \frac{1}{(1+a)^{2}}\geqslant \frac{1}{2}.\sum \frac{1}{1+a^{2}}= \frac{1}{2}.\sum (1-\frac{a^{2}}{a^{2}+1})\geqslant \frac{1}{2}.\sum (1-\frac{a}{2})=\frac{1}{2}.(3-\frac{a+b+c}{2})\geqslant \frac{1}{2}.(3-\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2})=\frac{3}{4}$

 

BĐT cuối bị ngược dấu rồi anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 21-04-2014 - 17:45

[Binh Le]

Với $a,b,c>0,abc=1$

Áp dụng bđt phụ $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{1+ab}$

Thật vậy :$(1+a)^{2}=(1.1+\sqrt{ab}.\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^{2}\leq (1+ab)(1+\frac{a}{b})$

$\Rightarrow \frac{1}{(1+a)^{2}}\geq \frac{b}{(a+b)(1+ab)}$

cmtt $\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{a}{(a+b)(1+ab)}$

Cộng theo vế ta đc đpcm

Trở lại bài toán:

$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{1+ab}=\frac{1}{1+\frac{1}{c}}=\frac{c}{c+1}$

Lại có $\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+1)^{2}}\geq \frac{1}{1+c}$

Cộng theo  ta được $P+\frac{1}{4}\geq 1\Leftrightarrow P\geq \frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

.......................................................................................

P/s: Lahan nói chuẩn ,Bđt của buitudong chỉ đúng khi $ab\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 21-04-2014 - 17:44

[buitudong1998]

 

.......................................................................................

P/s: Lahan nói chuẩn ,Bđt của buitudong chỉ đúng khi $ab\geq 1$

 

BĐT này sai. Chỗ $\frac{2}{ab+1}$ phải là $\frac{1}{ab+1}$

 

 

BĐT cuối bị ngược dấu rồi anh

Mình chỉ nhớ nhầm thôi mà làm gì mà các bạn phản ứng ghê thế

Còn BĐT trên đúng với mọi a, b Binhle nhé ( Biến đổi tương đương rồi đưa về $ab(a-b)^{2}+(ab-1)^{2}\geqslant 0$

Bất đẳng thức này mới cần $ab\geqslant 1$:

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geqslant \frac{2}{1+ab}$

[hoaadc08]

Cho a , b, c > 0 và abc = 1 . Tìm GTNN của : $E=\frac{1}{\left ( 1+a\right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+b\right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+c\right )^{2}}$

Ta cM :

(1)  $\frac{1}{\left ( 1+a \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+b \right )^{2}}\geq \frac{\left (\frac{1}{1+a} +\frac{1}{1+b} \right )^{2}}{2}$

(2)  $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\left ( a>0,b>0,ab \geq 1 \right )$

(3)  $\frac{2c}{\left ( 1+\sqrt{c} \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+c \right )^{2}}\geq \frac{3}{4}$

Vì a , b , c có vai trò như nhau nên không mất tổng quát , ta giả sử $0< c\leqslant 1$ ( nếu a , b , c > 1 thì abc > 1 trái gỉa thiết ) và ta có $ab=\frac{1}{c}\geq 1$ .

Từ đó suy ra ĐPCM .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 21-04-2014 - 20:37