Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$ và hằng số $k$ là số nguyên dương.
Chứng minh rằng: $x^ky^k(x^k+y^k)\leq2$.
Chứng minh rằng: $x^ky^k(x^k+y^k)\leq2$.
Bắt đầu bởi Ham học toán hơn, 30-04-2014 - 21:43
#2
Đã gửi 01-05-2014 - 14:10
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$ và hằng số $k$ là số nguyên dương.
Chứng minh rằng: $x^ky^k(x^k+y^k)\leq2$.
Giải:
Dùng phương pháp qui nạp
Hiển nhiên BĐT đúng với $n=2$.
Giả sử BĐT đúng với $n=k$ $\Rightarrow x^ky^k(x^k+y^k)\leq 2$
Ta sẽ đi chứng minh BĐT đúng với $n=k+1$ $\Leftrightarrow x^{k+1}y^{k+1}(x^{k+1}+y^{k+1})\leq 2$
$\Leftrightarrow x^ky^kxy(x^kx+y^ky)\leq 2$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
$x^kx+y^ky\leq \sqrt{(x^{2k}+y^{2k})(x^2+y^2)}$
$\Rightarrow x^ky^kxy(x^kx+y^ky)\leq x^ky^kxy\sqrt{(x^{2k}+y^{2k})(x^2+y^2)}= \sqrt{(x^k)^2(y^k)^2[(x^k)^2+(y^k)^2]x^2y^2(x^2+y^2)}\leq \sqrt{2.2}=2$
Vậy BĐT đúng với $n=k+1$ $\Rightarrow$ Đpcm.
- Yagami Raito, Oral1020, toanc2tb và 4 người khác yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#3
Đã gửi 01-05-2014 - 17:32
Oral1020
-
- Thành viên
-
- 1225 Bài viết
Thịnh To Tướng
Giải:
Dùng phương pháp qui nạp
Hiển nhiên BĐT đúng với $n=2$.
Giả sử BĐT đúng với $n=k$ $\Rightarrow x^ky^k(x^k+y^k)\leq 2$
Ta sẽ đi chứng minh BĐT đúng với $n=k+1$ $\Leftrightarrow x^{k+1}y^{k+1}(x^{k+1}+y^{k+1})\leq 2$
$\Leftrightarrow x^ky^kxy(x^kx+y^ky)\leq 2$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
$x^kx+y^ky\leq \sqrt{(x^{2k}+y^{2k})(x^2+y^2)}$
$\Rightarrow x^ky^kxy(x^kx+y^ky)\leq x^ky^kxy\sqrt{(x^{2k}+y^{2k})(x^2+y^2)}= \sqrt{(x^k)^2(y^k)^2[(x^k)^2+(y^k)^2]x^2y^2(x^2+y^2)}\leq \sqrt{2.2}=2$
Vậy BĐT đúng với $n=k+1$ $\Rightarrow$ Đpcm.
Sao mình thử với $x=0,98;y=1.02;k=4$ thì bất đẳng thức ngược chiều.
- Yagami Raito, toanc2tb, bestmather và 1 người khác yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#4
Đã gửi 01-05-2014 - 19:50
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Sao mình thử với $x=0,98;y=1.02;k=4$ thì bất đẳng thức ngược chiều.
Ừ nhỉ, để mình kt lại đã. 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 01-05-2014 - 19:51
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#5
Đã gửi 01-05-2014 - 20:37
Oral1020
-
- Thành viên
-
- 1225 Bài viết
Thịnh To Tướng
Ừ nhỉ, để mình kt lại đã.
Nhớ không lầm bài này chỉ đúng với $k=\dfrac{n(n+1)}{2}$ thôi thì phải.Cách chứng minh là tách hệ số ra sài AM-GM sao cho $A \le \dfrac{(x+y)^k}{2^{k-1}}$
- toanc2tb và firetiger05 thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
