Chủ đề này có 2 trả lời

[mnguyen99]

CM:Nếu d,e,f nguyên và $d+e\sqrt[3]{2}+f\sqrt[3]{4}$ cũng là số nguyên thì d=e=f=0

[HoangHungChelski]

Nhớ không nhầm thì bài này ở trong Chuyên đề Đại số - Nguyễn Vũ Thanh:
Đặt $\sqrt[3]{2}=x$ $(x\in \mathbb{I})$
Ta có: $d+xe+fx^2=0$ (1)
+, Với $f=0$, dễ dàng suy ra được $d=e=0$ $(Q.E.D)$
+, Với $f\neq 0$. 
$\triangle _{(1)}=e^2-4df\Rightarrow x=\frac{-e\pm \sqrt{e^2-4df}}{f}\Leftrightarrow xf+e=\pm \sqrt{e^2-4df}\Leftrightarrow x^2f^2+2xef+e^2=e^2-4df\Leftrightarrow x^2f+2xe+4d=0$ (2)
Lấy $(2)-(1)\Rightarrow 3d+xe=0\Rightarrow d=e=0\Rightarrow f=0$ (vô lí)
Vậy ta có $Q.E.D$

[mnguyen99]

Nhớ không nhầm thì bài này ở trong Chuyên đề Đại số - Nguyễn Vũ Thanh:
Đặt $\sqrt[3]{2}=x$ $(x\in \mathbb{I})$
Ta có: $d+xe+fx^2=0$ (1)
+, Với $f=0$, dễ dàng suy ra được $d=e=0$ $(Q.E.D)$
+, Với $f\neq 0$. 
$\triangle _{(1)}=e^2-4df\Rightarrow x=\frac{-e\pm \sqrt{e^2-4df}}{f}\Leftrightarrow xf+e=\pm \sqrt{e^2-4df}\Leftrightarrow x^2f^2+2xef+e^2=e^2-4df\Leftrightarrow x^2f+2xe+4d=0$ (2)
Lấy $(2)-(1)\Rightarrow 3d+xe=0\Rightarrow d=e=0\Rightarrow f=0$ (vô lí)
Vậy ta có $Q.E.D$

Thử xem cách này được ko nhé:

$e\sqrt[3]{2} +f\sqrt[3]{4}\epsilon Z$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2}(e+f\sqrt[3]{2})\epsilon Z$

$\Rightarrow e+\sqrt[3]{2}f=\sqrt[3]{4}a$                                                       (1)

$\Leftrightarrow e=\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2}a-f)$

$\Rightarrow \sqrt[3]{2}a-f\epsilon Z \Rightarrow \sqrt[3]{2}a-f=\sqrt[3]{4}b$

$\Leftrightarrow f=\sqrt[3]{2}(a+\sqrt[3]{2}b)\Rightarrow a+\sqrt[3]{2}b=\sqrt[3]{4}c$                               (2)

pt (1) tương đương với (2)

ta có phép lặp vô hạn các phép tính trên nên d=e=f=0.