Chủ đề này có 6 trả lời

[caybutbixanh]

Bài 1: Chứng minh rằng :

$\sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\frac{6\pi}{7}}=\sqrt[3]{\frac{5-3.\sqrt[3]{7}}{2}}$

Bài 2:Chứng minh rằng :$\cos\frac{\pi}{2003}.\cos\frac{2\pi}{2003}...\cos\frac{1001\pi}{2003}=(\frac{1}{2})^{1001}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 29-05-2014 - 22:22

[caybutbixanh]

Bài 1: Chứng minh rằng :

$\sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\frac{6\pi}{7}}=\sqrt[3]{\frac{5-3.\sqrt[3]{7}}{2}}$

 

Sáu tháng trời cho một lời giải =))

Lời giải :

Nhận xét : $\frac{2\pi}{7}, \frac{4\pi}{7}, \frac{6\pi}{7},$ là nghiệm của phương trình :

$$4x=-3x+k2\pi\\$$

$$\Leftrightarrow \cos 4x=\cos 3x\\$$

$$\Leftrightarrow 8\cos ^{4}x-4\cos^{3}x-8\cos^{2}+3\cos x+1=0\\$$

$$\Leftrightarrow (\cos x-1)(8\cos^{3}x+4\cos^{2}x-4\cos x-1)=0$$

Vì $\frac{2\pi}{7}, \frac{4\pi}{7}, \frac{6\pi}{7}$ không phải là nghiệm của phương trình $\cos x-1=0$ nên là nghiệm của 

$$8\cos^{3}x+4\cos^{2}x-4\cos x-1=0\\$$

$$\Leftrightarrow (2\cos x)^{3}+(2\cos x)^{2}-2.(2\cos x)-1=0 \\$$

Đặt $t_{1}=2\cos \frac{2\pi}{7};t_{2}=2\cos \frac{4\pi}{7};t_{3}=2\cos \frac{6\pi}{7};$.Khi đó $t_{1},t_{2};t_{3}$ là nghiệm của phương trình :

$$t^{3}+t^{2}-2t-1=0$$

Theo định lý Vi-Ét thì :

$t_{1}+t_{2}+t_{3}=-1;t_{1}.t_{2}+t_{2}.t_{3}+t_{1}.t_{3}=-2;t_{1}.t_{2}.t_{3}=1$

Mặt khác, ta đã biết : Với các biến $x,y,z$ đều có thể đưa về các đa thức đối xứng cơ sở là $x+y+z; xy+yz+xz; xyz$

Do đó ta đặt 

$$A= \sqrt[3]{t_{1}}+\sqrt[3]{t_{2}}+\sqrt[3]{t_{3}};\\$$

$$B=\sqrt[3]{t_{1}}\sqrt[3]{t_{2}}+\sqrt[3]{t_{2}}\sqrt[3]{t_{3}}+\sqrt[3]{t_{3}}\sqrt[3]{t_{1}}$$

Ta có :

$$A^{3}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+3(\sqrt[3]{t_{1}}+\sqrt[3]{t_{2}}+\sqrt[3]{t_{3}})(\sqrt[3]{t_{1}}\sqrt[3]{t_{2}}+\sqrt[3]{t_{2}}\sqrt[3]{t_{3}}+\sqrt[3]{t_{1}}\sqrt[3]{t_{3}})-3\sqrt[3]{t_{1}}\sqrt[3]{t_{2}}\sqrt[3]{t_{3}}=-1+3AB-3=3AB-4;\\$$

$$B^{3}=t_{1}t_{2}+t_{2}t_{3}+t_{1}t_{3}+3AB -3\sqrt[3]{t_{1}^{2}t_{2}^{2}t_{3}^{2}}=3AB-5;\\$$

$$\Rightarrow (AB)^{3}=(3AB-4)(3AB-5)\\$$

$$\Leftrightarrow (AB)^{3}-9(AB)^{2}+27AB-20=0\\$$

$$\Leftrightarrow (AB-3)^{3}=-7\\$$

$$\Leftrightarrow AB=3-\sqrt[3]{7}\Rightarrow A^{3}=5-3\sqrt[3]{7}\Leftrightarrow A=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}.$$

Từ đó suy ra được :

$$\sqrt[3]{\cos \frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos \frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos \frac{6\pi}{7}}=\sqrt[3]{ \frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}$$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 02-11-2014 - 23:16

[phan huong]

Sáu tháng trời cho một lời giải =))

Lời giải :

Nhận xét : $\frac{2\pi}{7}, \frac{4\pi}{7}, \frac{6\pi}{7},$ là nghiệm của phương trình :

$$4x=3x+k2\pi\\$$

$$\Leftrightarrow \cos 4x=\cos 3x\\$$

$$\Leftrightarrow 8\cos ^{4}x-4\cos^{3}x-8\cos^{2}+3\cos x+1=0\\$$

$$\Leftrightarrow (\cos x-1)(8\cos^{3}x+4\cos^{2}x-4\cos x-1)=0$$

Vì $\frac{2\pi}{7}, \frac{4\pi}{7}, \frac{6\pi}{7}$ không phải là nghiệm của phương trình $\cos x-1=0$ nên là nghiệm của 

$$8\cos^{3}x+4\cos^{2}x-4\cos x-1=0\\$$

$$\Leftrightarrow (2\cos x)^{3}+(2\cos x)^{2}-2.(2\cos x)-1=0 \\$$

Đặt $t_{1}=2\cos \frac{2\pi}{7};t_{2}=2\cos \frac{4\pi}{7};t_{3}=2\cos \frac{6\pi}{7};$.Khi đó $t_{1},t_{2};t_{3}$ là nghiệm của phương trình :

$$t^{3}+t^{2}-2t-1=0$$

Theo định lý Vi-Ét thì :

$t_{1}+t_{2}+t_{3}=-1;t_{1}.t_{2}+t_{2}.t_{3}+t_{1}.t_{3}=2;t_{1}.t_{2}.t_{3}=-1$

Mặt khác, ta đã biết : Với các biến $x,y,z$ đều có thể đưa về các đa thức đối xứng cơ sở là $x+y+z; xy+yz+xz; xyz$

Do đó ta đặt 

$$A= \sqrt[3]{t_{1}}+\sqrt[3]{t_{2}}+\sqrt[3]{t_{3}};\\$$

$$B=\sqrt[3]{t_{1}}\sqrt[3]{t_{2}}+\sqrt[3]{t_{2}}\sqrt[3]{t_{3}}+\sqrt[3]{t_{3}}\sqrt[3]{t_{1}}$$

Ta có :

$$A^{3}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+3(\sqrt[3]{t_{1}}+\sqrt[3]{t_{2}}+\sqrt[3]{t_{3}})(\sqrt[3]{t_{1}}\sqrt[3]{t_{2}}+\sqrt[3]{t_{2}}\sqrt[3]{t_{3}}+\sqrt[3]{t_{1}}\sqrt[3]{t_{3}})-3\sqrt[3]{t_{1}}\sqrt[3]{t_{2}}\sqrt[3]{t_{3}}=-1+3AB-3=3AB-4;\\$$

$$B^{3}=t_{1}t_{2}+t_{2}t_{3}+t_{1}t_{3}+3AB -3\sqrt[3]{t_{1}^{2}t_{2}^{2}t_{3}^{2}}=3AB-5;\\$$

$$\Rightarrow (AB)^{3}=(3AB-4)(3AB-5)\\$$

$$\Leftrightarrow (AB)^{3}-9(AB)^{2}+27AB-20=0\\$$

$$\Leftrightarrow (AB-3)^{3}=-7\\$$

$$\Leftrightarrow AB=3-\sqrt[3]{7}\Rightarrow A^{3}=5-3\sqrt[3]{7}\Leftrightarrow A=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}.$$

Từ đó suy ra được :

$$\sqrt[3]{\cos \frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos \frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos \frac{6\pi}{7}}=\sqrt[3]{ \frac{5-\sqrt[3]{7}}{2}}$$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sao lại nghĩ ra được cái này nhỉ :

$$4x=3x+k2\pi\\$$

[caybutbixanh]

 

Sao lại nghĩ ra được cái này nhỉ :

$$4x=3x+k2\pi\\$$

 

Cái đó là nghệ thuật "ảo giác" (mình tự nghĩ ra )

Đơn giản thôi bạn, mình muốn là sao đó tìm mối liên hệ giữa các biểu thức nhưng lớp căn như "vi-rút " không cho việc này xảy ra nên mình đã chú ý rằng mẫu các biểu thức là $7=3+4$ ($3,4$ là muốn dùng công thức cung ba và bốn ) và các tử đều có dạng $k2\pi$ nên mình đã nghĩ ra $4x=3x+k2\pi$...Và sau đó như trên...............

Xin lỗi bạn, mình có gõ nhầm xíu , đúng ra $4x+3x=k2\pi$ tương đương $4x=-3x+k2\pi$........Nhưng vẫn không ảnh hưởng chi nhiều bởi $\ cos$ đối

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 02-11-2014 - 23:20

[phan huong]

Cái đó là nghệ thuật "ảo giác" (mình tự nghĩ ra )

Đơn giản thôi bạn, mình muốn là sao đó tìm mối liên hệ giữa các biểu thức nhưng lớp căn như "vi-rút " không cho việc này xảy ra nên mình đã chú ý rằng mẫu các biểu thức là $7=3+4$ ($3,4$ là muốn dùng công thức cung ba và bốn ) và các tử đều có dạng $k2\pi$ nên mình đã nghĩ ra $4x=3x+k2\pi$...Và sau đó như trên...............

ồh, vẫn còn hơi lơ mơ,nhưng phương pháp này của bạn hay thật.

Bài 2 bạn nghĩ ra chưa vậy ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phan huong: 02-11-2014 - 22:26

[caybutbixanh]

 

Bài 2:Chứng minh rằng :$\cos\frac{\pi}{2003}.\cos\frac{2\pi}{2003}...\cos\frac{1001\pi}{2003}=(\frac{1}{2})^{1001}$

Lời giải :

Ta có :

$$\cos \dfrac{\pi}{2003}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sin \dfrac{2\pi}{2003}}{\sin \dfrac{\pi}{2003}};\\$$

$$\cos \dfrac{2\pi}{2003}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sin \dfrac{4\pi}{2003}}{\sin \dfrac{2\pi}{2003}};\\$$

 

$$............................................  \\$$

 

$$\cos \dfrac{1001\pi}{2003}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sin \dfrac{2002\pi}{2003}}{\sin \dfrac{1001\pi}{2003}};\\$$

$$\Rightarrow VT=(\frac{1}{2})^{1001}.\dfrac{\sin \dfrac{2002\pi}{2003}}{\sin \dfrac{\pi}{2003}}=(\frac{1}{2})^{1001}$$

 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mở rộng đề nghị : Với n là một số tự nhiên ta cũng có :

$$\cos \dfrac{\pi}{2n+1}.\cos \dfrac{2\pi}{2n+1}.\cos \dfrac{3\pi}{2n+1}...\cos \dfrac{n\pi}{2n+1}=(\dfrac{1}{2})^{n}$$

Chứng minh không khó xin dành cho các bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 02-11-2014 - 22:57

[LzuTao]

Bài 2:Chứng minh rằng :$\cos\frac{\pi}{2003}.\cos\frac{2\pi}{2003}...\cos\frac{1001\pi}{2003}=(\frac{1}{2})^{1001}$

Tham khảo cách làm của bạn anh1999 ở đây bạn.

Bạn caybutbixanh hiểu lầm đề bài rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 27-07-2015 - 23:48