Cho x,y,z là các số dương. Tìm Max $A=\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+zx)}$
Max $A=\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+zx)}$
#1
Đã gửi 17-06-2014 - 10:32
- Vu Thuy Linh, bestmather, hoangmanhquan và 1 người khác yêu thích
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
#2
Đã gửi 17-06-2014 - 10:45
Cho x,y,z là các số dương. Tìm Max $A=\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+zx)}$
$3A\leq \frac{(xy+yz+zx)^{2}+3xyz\sqrt{\sum x^{2}}}{(\sum x^{2})(\sum xy)}=\frac{\sum xy}{\sum x^{2}}+\frac{3xyz}{\sqrt{\sum x^{2}}(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{(\sum x)(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}=1+\sqrt{3}.$
- hoangmanhquan, yeutoan2604, lahantaithe99 và 3 người khác yêu thích
Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.
#3
Đã gửi 17-06-2014 - 10:48
$3A\leq \frac{(xy+yz+zx)^{2}+3xyz\sqrt{\sum x^{2}}}{(\sum x^{2})(\sum xy)}=\frac{\sum xy}{\sum x^{2}}+\frac{3xyz}{\sqrt{\sum x^{2}}(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{(\sum x)(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}=1+\sqrt{3}.$
chỗ này làm kiểu gì
- Dam Uoc Mo yêu thích
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
#4
Đã gửi 17-06-2014 - 10:51
chỗ này làm kiểu gì
BĐT quen thuộc $3xyz(x+y+z)\leq (\sum xy)^{2}$.
Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.
#5
Đã gửi 17-06-2014 - 12:52
Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho xy + yz + xz và x + y + z dương rồi nhân lại thì ta được
$(xy + yz + xz)(x + y + z) \geq 9xyz \Leftrightarrow xyz \leq \frac{(xy + yz + xz)(x + y + z)}{9}$
Do đó: $S\leq \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{9(x^{2} + y^{2} + z^{2})}$
$\Leftrightarrow S \leq \frac{1}{9}[ \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}]$
Mà $3(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq (x+y+z)^{2} \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \leq 3 và \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \leq \sqrt{3}$
=> $S \leq \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}$
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
Bài này sáng nay thi chuyên chung lsơn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cunshockbaby: 17-06-2014 - 13:02
- shinichikudo201 và Dam Uoc Mo thích
#6
Đã gửi 17-06-2014 - 13:15
$3A\leq \frac{(xy+yz+zx)^{2}+3xyz\sqrt{\sum x^{2}}}{(\sum x^{2})(\sum xy)}=\frac{\sum xy}{\sum x^{2}}+\frac{3xyz}{\sqrt{\sum x^{2}}(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{(\sum x)(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}=1+\sqrt{3}.$
Chỗ đỏ phải là $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cunshockbaby: 17-06-2014 - 13:20
- Dam Uoc Mo yêu thích
#7
Đã gửi 17-06-2014 - 19:29
Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho xy + yz + xz và x + y + z dương rồi nhân lại thì ta được
$(xy + yz + xz)(x + y + z) \geq 9xyz \Leftrightarrow xyz \leq \frac{(xy + yz + xz)(x + y + z)}{9}$
Do đó: $S\leq \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{9(x^{2} + y^{2} + z^{2})}$
$\Leftrightarrow S \leq \frac{1}{9}[ \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}]$
Mà $3(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq (x+y+z)^{2} \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \leq 3 và \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \leq \sqrt{3}$
=> $S \leq \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}$
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
Bài này sáng nay thi chuyên chung lsơn.
Bạn ở Thanh Hóa à
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
#8
Đã gửi 22-06-2014 - 21:27
Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho xy + yz + xz và x + y + z dương rồi nhân lại thì ta được
$(xy + yz + xz)(x + y + z) \geq 9xyz \Leftrightarrow xyz \leq \frac{(xy + yz + xz)(x + y + z)}{9}$
Do đó: $S\leq \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{9(x^{2} + y^{2} + z^{2})}$
$\Leftrightarrow S \leq \frac{1}{9}[ \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}]$
Mà $3(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq (x+y+z)^{2} \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \leq 3 và \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \leq \sqrt{3}$
=> $S \leq \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}$
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
Bài này sáng nay thi chuyên chung lsơn.
Toán chung Lam sơn à....
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
#9
Đã gửi 24-06-2014 - 16:03
Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho xy + yz + xz và x + y + z dương rồi nhân lại thì ta được
$(xy + yz + xz)(x + y + z) \geq 9xyz \Leftrightarrow xyz \leq \frac{(xy + yz + xz)(x + y + z)}{9}$
Do đó: $S\leq \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{9(x^{2} + y^{2} + z^{2})}$
$\Leftrightarrow S \leq \frac{1}{9}[ \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}]$
Mà $3(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq (x+y+z)^{2} \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \leq 3 và \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \leq \sqrt{3}$
=> $S \leq \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}$
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
Bài này sáng nay thi chuyên chung lsơn.
Đáp án lại ra $\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}$. Không hiểu tại sao.
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh