Chủ đề này có 17 trả lời

[L Lawliet]

Câu 1. (3 điểm)

1. Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức:$$A=\left ( 5x^{5}-15x^{4}+14x^{3}-12x^{2}-3x+2 \right )^{2}+2014$$

2. Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0 \end{matrix}\right.$$

 

Câu 2. (4 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $6x^{2}+5y^{2}+z^{2}+2yz-4xz-34=0$.

2. Cho $2014$ số tự nhiên đôi một khác nhau sao và nhỏ hơn $4026$. Chứng minh tồn tại ba số trong $2014$ số đó mà một số bằng tổng hai số kia.

3. Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$A=\dfrac{\left ( b+c-a \right )^{3}}{2a}+\dfrac{\left ( c+a-b \right )^{3}}{2b}+\dfrac{\left ( a+b-c \right )^{3}}{2c}$$

 

Câu 3. (1,5 điểm)

Cho hình vuông $MNPQ$ và điểm $A$ nằm trong tam giác $MNP$ sao cho $AM^{2}=AP^{2}+2AN^{2}$. Tính $\widehat{PAN}$.

 

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho đưòng tròn $\left ( O \right )$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Từ điểm $D$ trên cung $AB$ không chứa $C$ ($D$ khác $A$ và $B$) hạ các đuờng vuông góc đến các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{AB}{DM}=\dfrac{BC}{DN}+\dfrac{CA}{DP}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-06-2014 - 15:18

[Ngoc Hung]

Câu 1. (3 điểm)

2. Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0 \end{matrix}\right.$$

Thế pt (1) vào pt (2) được $x^{3}+2xy^{2}+x^{2}y+8y^{3}=0\Leftrightarrow (x+2y)(x^{2}-3xy+4y^{2})=0$

Ta có $x^{2}-3xy+4y^{2}=(x-\frac{3y}{2})^{2}+\frac{7y^{2}}{4}\geq 0$. Suy ra x = y = 0 không thỏa mãn pt (1)

Vậy x = -2y thay vào pt (1) được (x; y) = (2; -1); (-2; 1)

[Ngoc Hung]

 

Câu 2. (4 điểm)

3. Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$A=\dfrac{\left ( b+c-a \right )^{3}}{2a}+\dfrac{\left ( c+a-b \right )^{3}}{2b}+\dfrac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{2c}$$

Xem lại đề ra bạn ơi. Nếu đề như dưới đây thì ta có

$A=\frac{(b+c-a)^{2}}{2a}+\frac{(c+a-b)^{2}}{2b}+\frac{(a+b-c)^{2}}{2c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

[kanashini]

Câu 2 mình nghĩ là mũ 3 tất:)

Nếu như vậy thì làm như sau:

 

Đặt $a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z$ $\rightarrow x+y+z=3$

 

-->$A=\frac{x^{3}}{y+z}+\frac{y^{3}}{z+x}+\frac{z^{3}}{x+y}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{2(xy+yz+zx)} \geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2} \geq \frac{\frac{(x+y+z)^{2})}{3}}{2}=\frac{3}{2}$

 

Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=1$

[Ngoc Hung]

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho đưòng tròn $\left ( O \right )$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Từ điểm $D$ trên cung $AB$ không chứa $C$ ($D$ khác $A$ và $B$) hạ các đuờng vuông góc đến các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{AB}{DM}+\dfrac{BC}{DN}+\dfrac{CA}{DP}$.

Xem lại đề ra bạn ơi. Sao lại "Chứng minh rằng $\dfrac{AB}{DM}+\dfrac{BC}{DN}+\dfrac{CA}{DP}$." là thế nào ?

[caybutbixanh]

 

Câu 3. (1,5 điểm)

Cho hình vuông $MNPQ$ và điểm $A$ nằm trong tam giác sao cho $AM^{2}=AP^{2}+2AN^{2}$. Tính $\widehat{PAN}$.

 

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho đưòng tròn $\left ( O \right )$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Từ điểm $D$ trên cung $AB$ không chứa $C$ ($D$ khác $A$ và $B$) hạ các đuờng vuông góc đến các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{AB}{DM}+\dfrac{BC}{DN}+\dfrac{CA}{DP}$.

Đề có mấy lỗi trên mong a sửa lại

[chardhdmovies]

mọi người cho em biết câu 2.1 có nghiệm nào với

hôm nay em thi ra 6 nghiệm mà mấy đứa toàn ra 8 nghiệm

[hoctrocuaZel]

Câu 2. (4 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $6x^{2}+5y^{2}+z^{2}+2yz-4xz-34=0$.

PT tương đương: $(2x-y-z)^2+(x+2y)^2+x^2=34=0+3^2+5^2$

Chứng tỏ x khác 0, rồi xét nhiều trường hợp :3 :3 

[tuananh2000]

mọi người cho em biết câu 2.1 có nghiệm nào với

hôm nay em thi ra 6 nghiệm mà mấy đứa toàn ra 8 nghiệm

Ra 8 cặp anh à . $(x;y;z)=(-5;1;-11);(-5;4;-14);(5;-1;11);(5;-4;14);(3;1;5);(3;-4;10);(-3;4;-10);(-3;-1;-5)$

[HungNT]

 

Câu 3. (1,5 điểm)

Cho hình vuông $MNPQ$ và điểm $A$ nằm trong tam giác sao cho $AM^{2}=AP^{2}+2AN^{2}$. Tính $\widehat{PAN}$.

 

Đề hơi thiếu rõ ràng tí xíu, nhưng em đoán là A nằm trong tam giác MNP

Dựng cung chứa góc $135^{\circ}$ trên đoạn NP,lấy 1 điểm A' bất kì trên cung vừa dựng

Dựng tia A'x $\bot$  A'P và tam giác $A'NF$ vuông cân với $F\in A'x$ vì $\angle NA'F= 45^{\circ}$

Ta có $A'F^{2}=2A'N^{2}\Rightarrow PF^{2}=A'P^{2}+A'F^{2}=A'P^{2}+2A'N^{2}$

Lại có $\angle MNA'=\angle PNF$ do cùng phụ với $\angle A'NP$

$\Rightarrow \Delta MNA'=\Delta PNF\left ( cgc \right )\Rightarrow MA'=PF$

$\Rightarrow MA'^{2}=2A'N^{2}+A'P^{2}$

Vì $A'$ thoả mãn tính chất của $A$ ở đề bài nên $A'\equiv A \Rightarrow \angle PAN=135^{\circ}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 27-06-2014 - 11:12

[caybutbixanh]

Đề hơi thiếu rõ ràng tí xíu, nhưng em đoán là A nằm trong tam giác MNP

untitled.PNG

Dựng cung chứa góc $135^{\circ}$ trên đoạn NP,lấy 1 điểm A' bất kì trên cung vừa dựng

Dựng tia A'x $\bot$  A'P và tam giác $A'NF$ vuông cân với $F\in A'x$ vì $\angle NA'F= 45^{\circ}$

Ta có $A'F^{2}=2A'N^{2}\Rightarrow PF^{2}=A'P^{2}+A'F^{2}=A'P^{2}+2A'N^{2}$

Lại có $\angle MNA'=\angle PNF$ do cùng phụ với $\angle A'NP$

$\Rightarrow \Delta MNA'=\Delta PNF\left ( cgc \right )\Rightarrow MA'=PF$

$\Rightarrow MA'^{2}=2A'N^{2}+A'P^{2}$

Vì $A'$ thoả mãn tính chất của $A$ ở đề bài nên $A'\equiv A \Rightarrow \angle PAN=135^{\circ}$

$\Delta MNA'=\Delta PNF\left ( cgc \right )$ (gcg) chứ nhỉ .......

Vấn đề là làm sao dự đoán được kết quả 135 độ vậy em ?

[HungNT]

$\Delta MNA'=\Delta PNF\left ( cgc \right )$ (gcg) chứ nhỉ .......

Vấn đề là làm sao dự đoán được kết quả 135 độ vậy em ?

MN=NP, A'N=NF và $\angle MNA'=\angle PNF$ nên là cgc chứ anh

Tại vì $2AN^{2}= \left ( AN\sqrt{2} \right )^{2}$ có $\sqrt{2}$ nên em đoán là liên quan đến tam giác vuông cân, rồi mò ra góc 135 độ.

[phivie]

Câu 1. (3 điểm)

1. Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức:  $A=\left ( 5x^{5}-15x^{4}+14x^{3}-12x^{2}-3x+2 \right )^{2}+2014$

 

Từ giả thiết ta suy ra:  $(x-1)^3-2=0$.  Biến đổi:  $5x^{5}-15x^{4}+14x^{3}-12x^{2}-3x+2 =(5x^2-1)((x-1)^3-2) -1= -1$. Vậy A = 2015

[L Lawliet]

Xin lỗi mọi người vì ghi vội nên đề có một vài chỗ sai, đã sửa lại rồi nhé

[caybutbixanh]

MN=NP, A'N=NF và $\angle MNA'=\angle PNF$ nên là cgc chứ anh

Tại vì $2AN^{2}= \left ( AN\sqrt{2} \right )^{2}$ có $\sqrt{2}$ nên em đoán là liên quan đến tam giác vuông cân, rồi mò ra góc 135 độ.

Sorry...anh lại nhìn là A'N=NF,$\angle MNA'=\angle PNF$ và MA'N=NFP=90 Nên khác em .......

[HungNT]

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho đưòng tròn $\left ( O \right )$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Từ điểm $D$ trên cung $AB$ không chứa $C$ ($D$ khác $A$ và $B$) hạ các đuờng vuông góc đến các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{AB}{DM}=\dfrac{BC}{DN}+\dfrac{CA}{DP}$.

một bài tương tự đã giải http://diendantoanho...-o/#entry508918

[moonmoon]

câu 2.2

Giả sử a₁<a₂<a₃<..<a₂₀₁₄ ta xét 3 TH

TH1 cả 2014 số trên đều chẵn thì a₁ =0 a₂=2 a₃=4 … a₂₀₁₄=4026 ta có luôn tồn tại  a_2k =a_n+a_m mà a_n=k-x và a_m=k+x với 0<x<k ví dụ: a₂+a₃ =2+4=a₄ =6

TH2 trong 2014 số trên có cả số chẵn và số lẻ xen kẽ thì ta luôn tìm đc a_2k = a_2n-x+a_2m+x      với x lẻ,  m,n<k và m+n=k hoặc a_2m+x= a_2n+x+a_2k  với x lẻ n,k<m và n+k=m

TH3 giả sử tất cả các số trên đều lẻ thì ta k tìm đc bất kì 3 số nào thỏa mãn đề bài vì lẻ +lẻ # lẻ nhưng nếu 2014 số đều lẻ thì a₁ =1 a₂=3 a₃=5… a₂₀₁₄=4027 trái với a_k<4026( k là số tự nhiên bất kì)

Vậy  trong 2014 số tự nhiên đôi một khác nhau sao và nhỏ hơn 4026 luôn tồn tại 3 số mà trong đó số này bằng tổng của  2 số còn lại

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi moonmoon: 30-06-2014 - 12:03

[bvptdhv]

Câu 1. (3 điểm)

1. Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức:$$A=\left ( 5x^{5}-15x^{4}+14x^{3}-12x^{2}-3x+2 \right )^{2}+2014$$

2. Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0 \end{matrix}\right.$$

 

Câu 2. (4 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $6x^{2}+5y^{2}+z^{2}+2yz-4xz-34=0$.

2. Cho $2014$ số tự nhiên đôi một khác nhau sao và nhỏ hơn $4026$. Chứng minh tồn tại ba số trong $2014$ số đó mà một số bằng tổng hai số kia.

3. Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$A=\dfrac{\left ( b+c-a \right )^{3}}{2a}+\dfrac{\left ( c+a-b \right )^{3}}{2b}+\dfrac{\left ( a+b-c \right )^{3}}{2c}$$

 

Câu 3. (1,5 điểm)

Cho hình vuông $MNPQ$ và điểm $A$ nằm trong tam giác $MNP$ sao cho $AM^{2}=AP^{2}+2AN^{2}$. Tính $\widehat{PAN}$.

 

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho đưòng tròn $\left ( O \right )$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Từ điểm $D$ trên cung $AB$ không chứa $C$ ($D$ khác $A$ và $B$) hạ các đuờng vuông góc đến các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{AB}{DM}=\dfrac{BC}{DN}+\dfrac{CA}{DP}$.

Đặt b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z

=>x+y+z=3
Ta có A=$\frac{b+c-a}{2a}+\frac{c+a-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}$

= $\frac{x^{4}}{xy+xz}+\frac{y^{4}}{xy+yz}+\frac{z^{4}}{xz+yz}$

$\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{2(xy+yz+xz)}$

Ta có $2(xy+yz+xz) \leq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

=>$A\geq \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Mà ta có $3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geq (x+y+z)^{2}=9$
=>$A\geq\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}$
Vậy GTNN của $A=\frac{3}{2}$ <=>a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvptdhv: 28-05-2015 - 21:11