Chủ đề này có 15 trả lời

[Viet Hoang 99]

Đề $TS$ vào lớp $10$ $THPT$ Chuyên Thái Bình môn Toán

(vòng 2) 

Sẽ đăng vòng $1$ vào ngày mai (vì chưa thi)

 

Bài $1$:

$1/$ Giải pt: $\sqrt{5x-6}+\sqrt{10-3x}=2x^2-x-2$

 

$2/$ Giải hpt: $\left\{\begin{matrix}x^3+8xy^2=96y  &  & \\ x^2+32y^2=48  &  &  \end{matrix}\right.$

 

Bài $2$:

$1/$ Cho pt: $x^2-2x-4=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$. Tính $S=x_1^2+x_2^2$

 

$2/$ Cho $a;b;c;d$ là các số nguyên dương thoả mãn: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$

Chứng minh: $a+b+c+d$ là hợp số.

 

Bài $3$:

Cho $a;b;c$ là ba số thực dương và có tổng bằng $1$

Chứng minh: $\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$

 

Bài $4$:

Cho hình bình hành $ABCD$ với $A,C$ cố định và $B,D$ di động. Đường phân giác của $\widehat{BCD}$ cắt $AB$ và $AD$ theo thứ tự tại $I$ và $J$ ($J$ nằm giữa $A$ và $D$). Gọi $M$ là giao điểm khác $A$ của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ và $AIJ$. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIJ$.

$1/$ CM: $O$ là phân giác $\widehat{IAJ}$

$2/$ CM: $4$ điểm $A;B;D:O$ cùng thuộc một đường tròn

$3/$ Tìm đường tròn cố định luôn đi qua $M$ khi $B;D$ di động.

 

Bài $5$:

Chứng minh rằng trong $39$ số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho $11$

---Hết---

 

 

[nguyenhongsonk612]

Bài $3$:

Cho $a;b;c$ là ba số thực dương và có tổng bằng $1$

Chứng minh: $P=\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$

Lời giải:

Ta có $\frac{a-bc}{a+bc}=1-\frac{2bc}{a(a+b+c)+bc}=1-\frac{2bc}{(a+b)(a+c)}$

Tương tự $\frac{b-ca}{b+ca}=1-\frac{2ca}{(b+c)(b+a)}$; $\frac{c-ab}{c+ab}=1-\frac{2ab}{(c+a)(c+b)}$

$\Rightarrow P=3-2(\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)})$

Như vậy ta cần chứng minh $\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}\geq \frac{3}{4}$

BĐT này $\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+ca^2+c^2a\geq 6abc$ (luôn đúng theo $AM-GM$ 6 số)

BĐT được chứng minh xong.

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

[nguyenhongsonk612]

 

Đề $TS$ vào lớp $10$ $THPT$ Chuyên Thái Bình môn Toán

(vòng 2) 

Sẽ đăng vòng $1$ vào ngày mai (vì chưa thi)

 

Bài $1$:

$1/$ Giải pt: $\sqrt{5x-6}+\sqrt{10-3x}=2x^2-x-2$

 

$2/$ Giải hpt: $\left\{\begin{matrix}x^3+8xy^2=96y  &  & \\ x^2+32y^2=48  &  &  \end{matrix}\right.$

Câu $2/$

Giải:

Ta thấy $x=y=0$ không là nghiệm của hệ

Xét $xy \neq 0$

Thay số $48$ ở pt $2$ vào pt $1$, ta được:

$x^3+8xy^2=2y(x^2+32y^2)\Leftrightarrow (x-4y)(x^2+2xy+16y^2)=0$ $\Rightarrow x=4y$ (Do $x^2+2xy+16y^2>0$)

Thay $x=4y$ vào pt thứ $2$ và giải ta được nghiệm của hệ là $(x;y)=(4;1);(-4;-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 27-06-2014 - 13:29

[Ngoc Hung]

Bài $1$: $1/$ Giải pt: $\sqrt{5x-6}+\sqrt{10-3x}=2x^2-x-2$

ĐKXĐ: $\frac{6}{5}\leq x\leq \frac{10}{3}$

Phương trình tương đương $\sqrt{5x-6}-2+\sqrt{10-3x}-2=2x^{2}-x-6$

$\frac{5(x-2)}{\sqrt{5x-6}+2}-\frac{3(x-2)}{\sqrt{10-3x}+2}=(x-2)(2x+3)$

$\Leftrightarrow (x-2)\left ( \frac{2}{\sqrt{5x-6}+2}-\frac{3}{\sqrt{10-3x}+2}-2x-3 \right )=0$

x = 2 là nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 27-06-2014 - 14:12

[HungNT]

 

Bài $4$:

Cho hình bình hành $ABCD$ với $A,C$ cố định và $B,D$ di động. Đường phân giác của $\widehat{BCD}$ cắt $AB$ và $AD$ theo thứ tự tại $I$ và $J$ ($J$ nằm giữa $A$ và $D$). Gọi $M$ là giao điểm khác $A$ của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ và $AIJ$. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIJ$.

$1/$ CM: $O$ là phân giác $\widehat{IAJ}$

$2/$ CM: $4$ điểm $A;B;D:O$ cùng thuộc một đường tròn

$3/$ Tìm đường tròn cố định luôn đi qua $M$ khi $B;D$ di động.

1/$\angle AIJ=\angle JCD=\frac{\angle C}{2}$

$\angle AJI=\angle DJC=\angle JCB= \frac{\angle C}{2}$

$\Rightarrow \Delta AJI$ cân tại A$\Rightarrow OA$ phân giác ...

2/$\angle OJD= \angle AOJ+\angle OAJ=2\angle I+\angle OAJ=\angle C+\angle OAJ$

$\angle OAB=\angle DAB+\angle OAJ=\angle C+\angle OAJ$

$\Rightarrow \angle OJD=\angle OAB$ $\Rightarrow \Delta OJD=\Delta OAB\left ( cgc \right )\Rightarrow \angle OBA=\angle ODA$

suy ra ADBO nội tiếp 

3/ Gọi O' là tâm đg tròn $\left ( ABD \right ),AC\cap BD=K$

Vì $OB=OD\Rightarrow OO' \bot BD$

Dễ dàng chứng minh O,K,O'  thẳng hàng và ABDM là hình thang cân 

Vì OK chứa đường trung bình $\Delta AMC\Rightarrow OK //MC$

Mà $OK \bot AM\Rightarrow MC \bot AM\Rightarrow \Delta AMC$ vuông tại M

Suy ra M thuộc đường tròn tâm K đường kính AC cố định

p/s : đã sửa 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 28-06-2014 - 18:37

[HoangHungChelski]

 

Đề $TS$ vào lớp $10$ $THPT$ Chuyên Thái Bình môn Toán

(vòng 2) 

 

 

$2/$ Cho $a;b;c;d$ là các số nguyên dương thoả mãn: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$

Chứng minh: $a+b+c+d$ là hợp số.

 

Lời giải: 
Ta có: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-ab=c^2+2cd+d^2-cd\Leftrightarrow (a+b)^2-(c+d)^2=ab-cd\Leftrightarrow (a+b+c+d)(a+b-c-d)=ab-cd$
Vì $a+b+c+d\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow$ $a+b-c-d=\frac{ab-cd}{a+b+c+d}$
mà $a+b-c-d\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{ab-cd}{a+b+c+d} \mathbb{Z}$
Giả sử $a+b+c+d$ là số nguyên tố $\Rightarrow (ab-cd)\vdots (a+b+c+d)$ (1)
Từ $gt\Leftrightarrow ab-cd=c^2+d^2-2cd-a^2-b^2+2ab$
$\Leftrightarrow ab-cd=(c-d)^2-(a-b)^2=(c-d+a-b)(c-d-a+b)$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow (c-d+a-b)(c-d-a+b)\vdots (a+b+c+d)$
Vì $a+b+c+d$ là số nguyên tố nên ta có 2 trường hợp sau:
+, Ta có: $(c-d+a-b)\vdots (a+b+c+d)\Rightarrow (c-d+a-b+a+b+c+d)\vdots (a+b+c+d)\Leftrightarrow 2(a+c)\vdots (a+b+c+d)$
mà $2<a+b+c+d;a+c<a+b+c+d$ nên trường hợp này vô lí
+, Ta có: $(c-d-a+b)\vdots (a+b+c+d)$. Hoàn toàn tương tự, ta cũng có điều vô lí.
Vậy giả sử sai nên $a+b+c+d$ là hợp số $(Q.E.D)$ $\blacksquare$

[Viet Hoang 99]

Đề $TS$ vào lớp $10$ $THPT$ Chuyên Thái Bình môn Toán

(Vòng 1)

Bài $1$. (2,0 điểm)

Cho biểu thức $A=\left ( \frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{3}{2\sqrt{x}+1}-\frac{5\sqrt{x}-7}{2x-3\sqrt{x}-2}\right ):\frac{2\sqrt{x}+3}{5x-10\sqrt{x}}~~(x>0;~x\neq 4)$

$1.$ Rút gọn biểu thức $A$

$2.$ Tìm $x$ sao cho $A$ nhận giá trị là một số nguyên

Bài $2$. (2,5 điểm)

Cho parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng $(d):~y=2(m+3)x-2m+2$ $(m$ là tham số, $m\in \mathbb{R})$

$1.$ Với $m=-5$, tìm toạ độ giao điểm của parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$.

$2.$ Cmr: Với mọi $m$, parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt. Tìm $m$ sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương.

$3.$ Tìm điểm cố định mà đường thẳng $(d)$ đi qua với mọi $m$.

Bài $3$. (1,5 điểm)

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix}2x^2+3xy-2y^2-5(2x-y)=0  &  & \\ x^2-2xy-3y^2+15=0  &  &  \end{matrix}\right.$

Bài $4$. (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn $(O;R)$ cắt nhau tại $T$. Đường thẳng $AT$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $D$ khác $A$.

$1.$ Cmr: $\bigtriangleup ABT\sim \bigtriangleup BDT$

$2.$ Cmr: $AB.CD=BD.AC$

$3.$ Cmr: Hai đường phân giác góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BDC}$ và đường thẳng $BC$ đồng quy tại một điểm

$4.$ Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Cm: $\widehat{BAD}=\widehat{MAC}$

Bài $5$. (0,5 điểm)

Cho các số dương $x,y,z$ thay đổi thoả mãn: $x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\leq 18$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$B=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-06-2014 - 17:58

[Viet Hoang 99]

 

Đề $TS$ vào lớp $10$ $THPT$ Chuyên Thái Bình môn Toán

(vòng 2) 

Sẽ đăng vòng $1$ vào ngày mai (vì chưa thi)

 

Bài $5$:

Chứng minh rằng trong $39$ số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho $11$

---Hết---

 

Vòng 2:

 

Bài 5:

Trong $39$ số tự nhiên liên tiếp sẽ có dãy số sau:

(gồm $30$ số)

$\overline{a0};\overline{a1};...;\overline{a9};\overline{b0};\overline{b1};...;\overline{b9};\overline{c0};\overline{c1};...;\overline{c9}$

(Với $b=a+1$ và $c=b+1$)

Gọi tổng chữ số của các số trong dãy lần lượt là:

$x;x+1;...;x+9;x+1;x+2;...;x+10;x+2;x+3;...;x+11$
Vậy trong dãy trên có dãy số $x;x+1;x+2;...;x+11$ là $12$ số tự nhiên liên tiếp, hiển nhiên phải có một số chia hết cho $11$

[Viet Hoang 99]

 

Đề $TS$ vào lớp $10$ $THPT$ Chuyên Thái Bình môn Toán

(Vòng 1)

 

Bài $3$. (1,5 điểm)

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix}2x^2+3xy-2y^2-5(2x-y)=0  &  & \\ x^2-2xy-3y^2+15=0  &  &  \end{matrix}\right.$

 

Vòng 1

Bài 3:

$PT1\Leftrightarrow (2x-y)(x+2y-5)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix}x=2y & & \\ x+2y=5 & & \end{bmatrix}$
Thay vào $PT2$, xong!

[HungNT]

Bài $2$. (2,5 điểm)

Cho parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng $(d):~y=2(m+3)x-2m+2$ $(m$ là tham số, $m\in \mathbb{R})$

$1.$ Với $m=-5$, tìm toạ độ giao điểm của parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$.

$2.$ Cmr: Với mọi $m$, parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt. Tìm $m$ sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương.

$3.$ Tìm điểm cố định mà đường thẳng $(d)$ đi qua với mọi $m$.

1. m=-5, ta có phương trình hoành độ giao điểm: 

$x^{2}-2\left ( m+3 \right )x+2m-2$

$\Leftrightarrow x^{2}+4x-12=0\Leftrightarrow x_{1}=2,~x_{2}=-6$

2. PT có $\Delta '=m^2+4m+11$ nên 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

mà $x_{1}> 0,~x_{2}> 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta '> 0 \\ S> 0\\ P> 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2\left ( m+3 \right )> 0\\ 2m-2> 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow m> 1$

3. Gọi $\left ( x_{0};y_{0} \right )$ là điểm cố định cần tìm, ta có

$y_{0}=2\left ( m+3 \right )x_{0}-2m+2$

$\Leftrightarrow 2mx_{0}+6x_{0}-2m+2-y_{0}=0$

$\Leftrightarrow 2m\left ( x_{0}-1 \right )+\left ( 6x_{0}-y_{0}+2 \right )=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{0}=1\\ 6x_{0}-y_{0}+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{0}=1\\ y_{0}=8 \end{matrix}\right.$

Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định (1;8)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 28-06-2014 - 19:19

[toanc2tb]

Bạn Việt Hoàng làm tốt không?

[Viet Hoang 99]

 

Đề $TS$ vào lớp $10$ $THPT$ Chuyên Thái Bình môn Toán

(Vòng 1)

Bài $1$. (2,0 điểm)

Cho biểu thức $A=\left ( \frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{3}{2\sqrt{x}+1}-\frac{5\sqrt{x}-7}{2x-3\sqrt{x}-2}\right ):\frac{2\sqrt{x}+3}{5x-10\sqrt{x}}~~(x>0;~x\neq 4)$

$1.$ Rút gọn biểu thức $A$

$2.$ Tìm $x$ sao cho $A$ nhận giá trị là một số nguyên

 

Bài $5$. (0,5 điểm)

Cho các số dương $x,y,z$ thay đổi thoả mãn: $x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\leq 18$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$B=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$

 

Vòng 1:

 

Bài 1:

$A=\frac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}=1-\frac{5}{4\sqrt{x}+2}$

$\Rightarrow 4\sqrt{x}+2$ thuộc ước của $5$

Xét ...

 

Bài 5:

Có: $18\geq x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}+x+y+z$ (BCS)
$\Rightarrow (x+y+z)^2+3(x+y+z)-54\leq 0$

 

$\Leftrightarrow (x+y+z-6)(x+y+z+9)\leq 0$

$\Leftrightarrow x+y+z\leq 6$ (Do $x+y+z+9>0$)

Vậy $B=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\geq \frac{9}{2(x+y+z)+3}\geq \frac{9}{12+3}=\frac{3}{5}$

Dấu $=$ xảy ra khi: $x=y=z=2$

 

 

Bạn Việt Hoàng làm tốt không?

Mình không thi theo ý kiến bố mẹ.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-06-2014 - 20:13

[moriran01101999]

 

Vòng 1:

 

Bài 1:

$A=\frac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}=1-\frac{5}{4\sqrt{x}+2}$

$\Rightarrow 4\sqrt{x}+2$ thuộc ước của $5$

Xét ...

Ủa sao $A=1-\frac{5}{4\sqrt{x}+2}$

Bạn chú ý nhé $\sqrt{x}$ không nguyên nhé

 

 

2A=5-$\frac{5}{2\sqrt{x}+1}$ 

$\frac{5}{2\sqrt{x}+1}$>0

=>5-$\frac{5}{2\sqrt{x}+1}$<5

=>2A<5

=>A<$\frac{5}{2}$

Mà A>0,A$\epsilon Z$

=>A=1,2

[nguyenhongsonk612]

ĐKXĐ: $\frac{6}{5}\leq x\leq \frac{10}{3}$

Phương trình tương đương $\sqrt{5x-6}-2+\sqrt{10-3x}-2=2x^{2}-x-6$

$\frac{5(x-2)}{\sqrt{5x-6}+2}-\frac{3(x-2)}{\sqrt{10-3x}+2}=(x-2)(2x+3)$

$\Leftrightarrow (x-2)$ $\left ( \frac{2}{\sqrt{5x-6}+2}-\frac{3}{\sqrt{10-3x}+2}-2x-3 \right )$ $=0$

x = 2 là nghiệm

Chứng minh cái này vô nghiệm kiểu gì thế cậu?

P/s: Sao nó không đọc được latex cái chỗ tô đỏ vậy? Mong ĐHV giúp đỡ!

 

---------------

Viet Hoang 99:

Đã fix, nhấn sửa bài sẽ hiểu tại sao!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 02-07-2014 - 16:04

[linhchi]

Chứng minh cái này vô nghiệm kiểu gì thế cậu?

P/s: Sao nó không đọc được latex cái chỗ tô đỏ vậy? Mong ĐHV giúp đỡ!

 

---------------

Viet Hoang 99:

Đã fix, nhấn sửa bài sẽ hiểu tại sao!

Do $\sqrt{5x-6} +2 \ge 2 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{5x-6} +2} \le 1 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{5x-6} +2} -\frac{3}{\sqrt{10-3x} +2}-2x-3 $

$\le 1-\frac{3}{\sqrt{10-3x} +2}-2x-3=-\frac{3}{\sqrt{10-3x} +2}-2x-2 <0 ,  \forall  x : \frac{6}{5} \le x \le \frac{10}{3}$

[tdaixmen]

Lời giải: 
Ta có: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-ab=c^2+2cd+d^2-cd\Leftrightarrow (a+b)^2-(c+d)^2=ab-cd\Leftrightarrow (a+b+c+d)(a+b-c-d)=ab-cd$
Vì $a+b+c+d\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow$ $a+b-c-d=\frac{ab-cd}{a+b+c+d}$
mà $a+b-c-d\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{ab-cd}{a+b+c+d} \mathbb{Z}$
Giả sử $a+b+c+d$ là số nguyên tố $\Rightarrow (ab-cd)\vdots (a+b+c+d)$ (1)
Từ $gt\Leftrightarrow ab-cd=c^2+d^2-2cd-a^2-b^2+2ab$
$\Leftrightarrow ab-cd=(c-d)^2-(a-b)^2=(c-d+a-b)(c-d-a+b)$ 

Chỗ suy luận được đánh dấu đỏ hình như sai. Bạn xem lại và khắc phục lại nhé!