Chủ đề này có 5 trả lời

[Ngoc Hung]

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN GIA LAI

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: Toán (Dành cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 phút

 

 

Bài 1: Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-1}$, với x ³ 0, x ¹ 1

            a) Rút gọn biểu thức A

            b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

Bài 2: Cho hàm số y = x² có đồ thị là (P) và đường thẳng D có phương trình y = 2x + 3

            a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng D

            b) Viết phương trình của đường thẳng d biết rằng d song song với D và tiếp xúc với (P).

Bài 3: Cho phương trình $x^{2}-2mx+m^{2}-m+3=0$, với m là tham số.

            a) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm

            b) Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức $Q=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4x_{1}x_{2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H (D thuộc AC, E thuộc AB).

           a) Chứng minh BCDE là tứ giác nội tiếp

           b) Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh BM = CH

           c) Giả sử $\widehat{ACB}=\alpha$, AB = x. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB theo a và x.

Bài 5: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=5 & \\ x^{2}+xy+1=2x+y & \end{matrix}\right.$.

[Ngoc Hung]

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN GIA LAI

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: Toán (Chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút

 

 

Bài 1:  a) Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức $A=(4+\sqrt{15})(\sqrt{10}-\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}$

           b) Cho các số thực khác không x, y sao cho $x+\frac{1}{y}$ và $y+\frac{1}{x}$là những số nguyên.

              Chứng minh $x^{3}y^{3}+\frac{1}{x^{3}y^{3}}$ cũng là một số nguyên .

Bài 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau

            a) $x^{2}+\frac{4}{x^{2}}=x-\frac{2}{x}+6$                          

            b) $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-3xy=-1 & \\ 9x^{3}-2y^{3}=(x-y)(4xy-1) & \end{matrix}\right.$

Bài 3: a) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình . Đặt X₁ = 2x₁ – 3x₂; X₂ = 2x₂ – 3x_1.  Tìm một phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận X₁, X₂ làm nghiệm.

           b) Hãy chia các số 4; 6; 12; 15; 30 thành hai nhóm (mỗi nhóm có ít nhất một số), rồi lấy tích của tất cả các số trong nhóm. Gọi T là tổng của các tích đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB) và M là điểm thuộc nửa đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax và By lần lượt tại E và F. Đường thẳng OE cắt AM tại P, đường thẳng OF cắt BM tại Q.

           a) Chứng minh tứ giác OPMQ là hình chữ nhật

           b) Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Đường thẳng EB cắt MH tại I. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng MH.

           c) Cho AB = 2R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp DOEF. Chứng minh $2<\frac{R}{r}<3$

Bài 5: Tìm số nguyên x để $\sqrt{x^{2}+x+3}$ là số hữu tỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 02-07-2014 - 07:51

[hoctrocuaZel]

Bài 5: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=5 & \\ x^{2}+xy+1=2x+y & \end{matrix}\right.$.

 

Bài 5:

$\Rightarrow 6-y^2+xy-2x-y=0 \Leftrightarrow y^2-xy+2x+y-6=0 \Leftrightarrow ((y-x+3)(y-2)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=x-3 &\\ y=2 & \end{bmatrix}$

Thế vào PT (1) là được.

Nghiệm: $y=2$, ta được: x=1 hoặc x=-1.

$y=x-3$, có: $\begin{bmatrix} x=2; y=-1 & \\ x=1; y=-2& \end{bmatrix}$

[hoctrocuaZel]

Bài 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau

            a) $x^{2}+\frac{4}{x^{2}}=x-\frac{2}{x}+6$                          

            b) $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-3xy=-1 & \\ 9x^{3}-2y^{3}=(x-y)(4xy-1) & \end{matrix}\right.$

Câu 2:

a) PT$\Leftrightarrow (x-\frac{2}{x})^2-(x-\frac{2}{x})-2=0\Leftrightarrow (x-\frac{2}{x}-2)(x-\frac{2}{x}+1)=0$. Đến đây giải tiếp.

b) Thay 1 từ PT(1) vào (2), được:

$9x^2-2x^3=(x-y)(4xy+x^2+y^2-3xy)\Leftrightarrow 9x^2-2x^3=x^3-y^3 \Leftrightarrow 8x^3=y^3\Leftrightarrow 2x=y$

Thế vào (1) là ra.

[hoctrocuaZel]

Bài 5: Tìm số nguyên x để $\sqrt{x^{2}+x+3}$ là số hữu tỉ.

 

Vì x nguyên nên $\sqrt{x^{2}+x+3}$ là số nguyên hoặc là số vô tỉ.

Do đó, để $\sqrt{x^{2}+x+3}$ là số hữu tỉ => $\sqrt{x^{2}+x+3}$ là số nguyên dương => $x^2+x+3$ là SCP.

Đặt: $x^2+x+3=t^2 (t>0)$.

$\rightarrow 4x^2+4x+12=4t^2\Leftrightarrow (2t)^2-(2x+1)^2=11 \Leftrightarrow (2t-2x-1)(2t+2x+1)=11=11.1=1.11\rightarrow \begin{bmatrix} x=-3 & \\ x=2& \end{bmatrix}$

[Ngoc Hung]

Bài 3: a) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình . Đặt X₁ = 2x₁ – 3x₂; X₂ = 2x₂ – 3x_1.  Tìm một phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận X₁, X₂ làm nghiệm.

           b) Hãy chia các số 4; 6; 12; 15; 30 thành hai nhóm (mỗi nhóm có ít nhất một số), rồi lấy tích của tất cả các số trong nhóm. Gọi T là tổng của các tích đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của T.

a) Ta có $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=7 & \\ x_{1}x_{2}=4 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} X_{1}+X_{2}=-7 & \\ X_{1}X_{2}=-194 & \end{matrix}\right.\Rightarrow X^{2}+7X-194=0$

 

b) Ta có $xy=4.6.12.15.30=129600\Rightarrow T=x+y\geq 2\sqrt{xy}=720$