Môn: Toán (chuyên)
Thời gian làm bài 150 phút.
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
$$P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} - 1}} - 1} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} - \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} - 1}} + 1} \right)$$
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn $P$.
2) Tính giá trị của $P$ nếu $x = 2 - \sqrt 3 $ và $y = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}$.
Câu 2. (1,5 điểm)
Cho phương trình: $x^2 - 2\left( {m + 1} \right)x + m^2 + 4 = 0$,($m$ là tham số).
1) Giải phương trình với $m=2$.
2) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1 ,\,x_2 $ thỏa mãn:
$$x_1^2 + 2\left( {m + 1} \right)x_2 \le 2m^2 + 8m + 2014$$.
Câu 3. (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: $\sqrt {5x - 1} - \sqrt {3x - 2} = \sqrt {x - 1} $
2) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {x - 1} \right)\left( {xy - x^2 } \right) = 3 \\ x^2 - 2x + y = 4. \end{array} \right.$
Câu 4. (2,0 điểm)
Trên hai cạnh $Ox, Oy$ của góc vuông $xOy$ lần lượt lấy hai điểm $A$ và $B$ sao cho $OA=OB$. Một đường thẳng đi qua $A$ cắt $OB$ tại $M$ ($M$ ở trong đoạn $OB$). Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AM$ cắt $AM$ tại $H$, cắt $AO$ kéo dài tại $I$.
1) Chứng minh rằng $OI=OM$ và tứ giác $OMHI$ nội tiếp được trong một đường tròn.
2) Từ $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BI$ tại $K$. Chứng minh rằng $OK=KH$. Điểm $K$ di động trên đường cố định nào khi $M$ di động trên $OB$?
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$, trên cạnh $CA$ lấy điểm $E$, trên cạnh $AB$ lấy điểm $F$, sao cho tứ giác $AFDE$ là tứ giác nội tiếp. Kéo dài $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại giao điểm thứ hai $M \left( {M \ne A} \right)$.
Chứng minh rằng:
$$S_{DEF} = \frac{{EF^2 }}{{BC^2 }}.\frac{{MD}}{{AD}}$$
Từ đó suy ra:
$$S_{DEF} \le \frac{{EF^2 }}{{4AD^2 }}$$
Câu 6. (1,5 điểm)
1) Cho các số $x,y$ dương thỏa mãn: $x^2 + y^2 = 8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = \frac{1}{{\sqrt {1 + x^3 } }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + y^3 } }}.$$
2) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho hai số $4p^2 + 1$ và $6p^2 + 1$là hai số nguyên tố.
