Chủ đề này có 4 trả lời

[Viet Hoang 99]

Cho $a,b \in R;n \in {N^*}$. Chứng minh rằng: \[\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n}\]

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b \in R;n \in {N^*}$. Chứng minh rằng: \[\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n}\]

Quy nạp thôi.

Với n=1 thì bài toán là đằng thức

Với $n=2= > \frac{a^2+b^2}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^2< = > (a-b)^2\geq 0$

Gỉa sử nó đúng đến $n=k= > \frac{a^{k}+b^{k}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{k}$

Ta CM đúng $n=k+1$

  Có $(\frac{a+b}{2})^{k+1}=(\frac{a+b}{2})(\frac{a+b}{2})^{k}\leq (\frac{a+b}{2})(\frac{a^{k}+b^{k}}{2})\leq \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}< = > 2(a^{k+1}+b^{k+1})\geq a^{k+1}+b^{k+1}+ab^{k}+a^{k}b< = > a^{k}(a-b)-b^{k}(a-b)\geq 0< = > (a-b)^2(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+ab^{k-2}+b^{k})\geq 0$

Do đó ta có ĐPCM

[Super Fields]

Cho $a,b \in R;n \in {N^*}$. Chứng minh rằng: \[\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n}\]

Vào lúc 25 Tháng 10 2011 - 23:46, vietfrog đã nói:

 

Trước tiên ta xét: $$f(x) = {x^n} + {(c - x)^n};c > 0,n \in {N^*}$$.

Ta có: $f'(x) = n{x^{n - 1}} - n{(c - x)^{n - 1}}$;$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{c}{2}$.

 

Lập BBT.

 

\[BBT \to f(x) \ge f\left( {\dfrac{c}{2}} \right) \Leftrightarrow {x^n} + {(c - x)^n} \ge 2{\left( {\dfrac{c}{2}} \right)^n}\]

 

Chọn $x = a;c = a + b$ ta có:\[{a^n} + {b^n} \ge 2{\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n}\]

 

Lời giải của Vietfrog

[chardhdmovies]

ta áp dụng $\frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}\geq \frac{a^m+b^m}{2}.\frac{a^n+b^n}{2}$

do đó $\frac{a^n+b^n}{2}\geq \frac{a+b}{2}.\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^2.\frac{a^{n-2}+b^{n-2}}{2}\geq ...\geq (\frac{a+b}{2})^n$

[nguyenhongsonk612]

Quy nạp thôi.

Với n=1 thì bài toán là đằng thức

Với $n=2= > \frac{a^2+b^2}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^2< = > (a-b)^2\geq 0$

Gỉa sử nó đúng đến $n=k= > \frac{a^{k}+b^{k}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{k}$

Ta CM đúng $n=k+1$

  Có $(\frac{a+b}{2})^{k+1}=(\frac{a+b}{2})(\frac{a+b}{2})^{k}\leq (\frac{a+b}{2})(\frac{a^{k}+b^{k}}{2})\leq \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}< = > 2(a^{k+1}+b^{k+1})\geq a^{k+1}+b^{k+1}+ab^{k}+a^{k}b< = > a^{k}(a-b)-b^{k}(a-b)\geq 0< = > (a-b)^2$$(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+ab^{k-2}+b^{k})$$\geq 0$

Do đó ta có ĐPCM

Còn cái này chứng minh nó $>0$ (hoặc $=0$) kiểu gì vậy anh?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 02-08-2014 - 06:31