Chủ đề này có 206 trả lời

[Thao Huyen]

Mình lập topic này để dành cho các bạn sinh năm 2000 có thể có tài liệu đề thi HSG, và tuyển sinh 10 chuyên và không chuyên.

Lưu ý: Mỗi bài các bạn phải đánh số thứ tự, trình bày rõ ràng, mạch lạc.

Mỗi tuần, mình sẽ đăng 1 để, các bạn vào làm.

Mong là topic sẽ được đông đảo các bạn ủng hộ.

Chúc các bạn thành công.

Đề số 1: Thời gian: 150 phút

1. Cho biểu thức:

P=$\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$

Q=$x^4-7x^2+15$ với x>0, x khác 1.

1) Rút gọn P.

2) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt GTNN.

2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

3. 1) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $2(x+y)+xy=x^2+y^2$.

2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2>5.c^2$. CMR: $c<a; c<b$.

4. Cho tam giác ABC cân ở A. Một đường tròn (O) có tâm O nằm trong tam giác, tiếp xúc vs AB,AC lần lượt là X,Y và cắt BC tại 2 điểm, một trong 2 điểm này kí hiệu là Z. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AZ. CMR:

1) Tứ giác HXBZ, HYCZ nội tiếp.

2) HB, HC theo thứ tự đi qua trung điểm XZ, YZ.

5. Giải phương trình: $\frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thao Huyen: 01-09-2014 - 20:31

[kimchitwinkle]

Bài 1 :

1, P = $\frac{\left ( \sqrt{x}+1 \right )\left ( x^{2}-\sqrt{x} \right )}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}$

       =$\frac{x^{2}\sqrt{x}-x+x^{2}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left ( x+\sqrt{x}+1 \right )}$

       =$\frac{x\left ( \sqrt{x}^{3}-1 \right )+\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}^{3}-1 \right )}{\sqrt{x}\left ( x+\sqrt{x}+1 \right )}$

       =$\frac{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}^{3}-1 \right )\left ( \sqrt{x}+1 \right )}{\sqrt{x}\left ( x+\sqrt{x}+1 \right )}$

       =$\frac{\left ( \sqrt{x}-1 \right )\left ( x+\sqrt{x}+1 \right )\left ( \sqrt{x}+1 \right )}{x+\sqrt{x}+1}$

       =$\left ( \sqrt{x}-1 \right )\left ( \sqrt{x}+1 \right )$

       = x-1

làm phần 1 trước               

[hoctrocuaZel]

3.1/ Cách 1: PT $\Leftrightarrow 2.x^2+2.y^2-2x-2y-2xy=0 \Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2=0^2+1^2+1^2=0^2+(-1)^2+(-1)^2=....$

Đến đây thì giải các hệ phương trình. (Hơi nhiều trường hợp).

Cách 2: Đưa về phương trình ẩn $x$: $x^2+(-2-y)x+y^2-2y=0$

$\Delta \geq 0\Leftrightarrow 3y^2-12y-4\leq 0 \Leftrightarrow -0\leq y\leq 4$

[thinhrost1]

Bài 1 :

1, P = $\frac{\left ( \sqrt{x}+1 \right )\left ( x^{2}-\sqrt{x} \right )}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}$

       =$\frac{x^{2}\sqrt{x}-x+x^{2}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left ( x+\sqrt{x}+1 \right )}$

       =$\frac{x\left ( \sqrt{x}^{3}-1 \right )+\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}^{3}-1 \right )}{\sqrt{x}\left ( x+\sqrt{x}+1 \right )}$

       =$\frac{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}^{3}-1 \right )\left ( \sqrt{x}+1 \right )}{\sqrt{x}\left ( x+\sqrt{x}+1 \right )}$

       =$\frac{\left ( \sqrt{x}-1 \right )\left ( x+\sqrt{x}+1 \right )\left ( \sqrt{x}+1 \right )}{x+\sqrt{x}+1}$

       =$\left ( \sqrt{x}-1 \right )\left ( \sqrt{x}+1 \right )$

       = x-1

làm phần 1 trước               

2) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt GTNN.

 

$Q-4P= x^4-7x^2+15-4x+4=(x^4-8x^3+16)+(x^2-4x+4)=(x^2-4)^2+(x-2)^2-1 \ge-1$ 

 

Nhỏ nhất là $-1$ khi và chỉ khi $x=2$

 

Góp ý với bạn chủ thớt thế này, khi đăng đề nên ghi là đề của trường nào của tỉnh nào để mọi người cùng biết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 03-09-2014 - 12:16

[chieckhantiennu]

Mình lập topic này để dành cho các bạn sinh năm 2000 có thể có tài liệu đề thi HSG, và tuyển sinh 10 chuyên và không chuyên.

Lưu ý: Mỗi bài các bạn phải đánh số thứ tự, trình bày rõ ràng, mạch lạc.

Mỗi tuần, mình sẽ đăng 1 để, các bạn vào làm.

Mong là topic sẽ được đông đảo các bạn ủng hộ.

Chúc các bạn thành công.

Đề số 1: Thời gian: 150 phút

1. Cho biểu thức:

P=$\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$

Q=$x^4-7x^2+15$ với x>0, x khác 1.

1) Rút gọn P.

2) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt GTNN.

2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

3. 1) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $2(x+y)+xy=x^2+y^2$.

2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2>5.c^2$. CMR: $c<a; c<b$.

4. Cho tam giác ABC cân ở A. Một đường tròn (O) có tâm O nằm trong tam giác, tiếp xúc vs AB,AC lần lượt là X,Y và cắt BC tại 2 điểm, một trong 2 điểm này kí hiệu là Z. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AZ. CMR:

1) Tứ giác HXBZ, HYCZ nội tiếp.

2) HB, HC theo thứ tự đi qua trung điểm XZ, YZ.

5. Giải phương trình: $\frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$

Chuyển vế. Quy đồng khử mẫu.( $x \neq -2$). 

Xong phân tích thành nhân tử. Tìm nghiệm.
p/s: Chắc thế nhỉ? 

[kimchitwinkle]

2) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt GTNN.

 

$Q-4P= x^4-7x^2+15-4x+4=(x^4-8x^3+16)+(x^2-4x+4)=(x^2-4)^2+(x-2)^2-1 \le-1$ 

 

Nhỏ nhất là $-1$ khi và chỉ khi $x=2$

 

Góp ý với bạn chủ thớt thế này, khi đăng đề nên ghi là đề của trường nào của tỉnh nào để mọi người cùng biết

$\geq -1$ chứ

[hoctrocuaZel]

Chuyển vế. Quy đồng khử mẫu.( $x \neq -2$). 

Xong phân tích thành nhân tử. Tìm nghiệm.
p/s: Chắc thế nhỉ? 

Làm tiếp cách bạn: 

$PT \Leftrightarrow 3x^4+6.x^3-16x^2-36x-12=0\Leftrightarrow (x^2-6)(3x^2+6x+2)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\pm \sqrt{6}\\ x=\frac{-3\pm \sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}$

 

2) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt GTNN.

 

$Q-4P= x^4-7x^2+15-4x+4=(x^4-8x^3+16)+(x^2-4x+4)=(x^2-4)^2+(x-2)^2-1 \le-1$ 

 

Nhỏ nhất là $-1$ khi và chỉ khi $x=2$

 

Góp ý với bạn chủ thớt thế này, khi đăng đề nên ghi là đề của trường nào của tỉnh nào để mọi người cùng biết

Cảm ơn bạn!

[chieckhantiennu]

2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

 

Đặt cho gọn vậy $x^2=a;y^2=b$ (a,b 

ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a^2+ab+b^2=a & \\ a^4+a^2b^2+b^4=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2-ab=4 & \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2=8& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ((a+b)^2-2ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ (4-ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ab=1& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt{5} & \\ ab=1 & \end{matrix}\right.$

Từ đó tìm được a,b tìm được x,y.

Tìm được $x^12+x^2y^2+y^12$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 04-09-2014 - 07:01

[hoctrocuaZel]

Đặt cho gọn vậy $x^2=a;y^2=b$ (a,b 

ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a^2+ab+b^2=a & \\ a^4+a^2b^2+b^4=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2-ab=4 & \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2=8& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ((a+b)^2-2ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ (4-ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ab=1& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\pm \sqrt{5} & \\ ab=1 & \end{matrix}\right.$

a,b là nghiệm của 2 PT: 

$X^5-\sqrt{5}X+1=0$ và $X^5+\sqrt{5}X+1=0$ 

Từ đó tìm được a,b tìm được x,y.

Tìm được $x^12+x^2y^2+y^12=323$

Bài này như thế này:

$8=x^8+x^4.y^4+y^8=(x^4+x^2y^2+y^4)(x^4-x^2y^2+y^4)\rightarrow x^4-x^2y^2+y^4=\frac{8}{4}=2\rightarrow x^4+y^4=3; x^2y^2=1$

Ta có: $32=(x^4+y^4+1)(x^8+y^8+1)=x^12+y^12+2.(x^4+y^4)+x^8+y^8+1\Rightarrow x^12+y^12+1=32-6-8+1=19$

--------------------

Mấy chỗ đỏ bị sị.

1) ab dương thì làm j có trừ.

2) x^5?????

Từ đó 3) của bạn bị ... 

Nhưng vẫn like

[thinhrost1]

Đặt cho gọn vậy $x^2=a;y^2=b$ (a,b 

ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a^2+ab+b^2=a & \\ a^4+a^2b^2+b^4=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2-ab=4 & \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2=8& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ((a+b)^2-2ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ (4-ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ab=1& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt{5} & \\ ab=1 & \end{matrix}\right.$

Từ đó tìm được a,b tìm được x,y.

Tìm được $x^12+x^2y^2+y^12$

 

 

Bài này như thế này:

$8=x^8+x^4.y^4+y^8=(x^4+x^2y^2+y^4)(x^4-x^2y^2+y^4)\rightarrow x^4-x^2y^2+y^4=\frac{8}{4}=2\rightarrow x^4+y^4=3; x^2y^2=1$

Ta có: $32=(x^4+y^4+1)(x^8+y^8+1)=x^12+y^12+2.(x^4+y^4)+x^8+y^8+1\Rightarrow x^12+y^12+1=32-6-8+1=19$

--------------------

Mấy chỗ đỏ bị sị.

1) ab dương thì làm j có trừ.

2) x^5?????

Từ đó 3) của bạn bị ... 

Nhưng vẫn like

Không hiểu sao, hệ phương trình vô nghiệm mà 

[hoctrocuaZel]

Không hiểu sao, hệ phương trình vô nghiệm mà 

Hệ của bạn chieckhan.. hay của mình

Từ hệ, suy ra a, b là nghiệm của pt: $x^2-\sqrt{5}x+1=0$

Ok, có nghiệm

Nhưng cách này dài.

[Viet Hoang 99]

 

3. 

2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2>5.c^2$. CMR: $c<a; c<b$.

 

$3)$

$2)$

Giả sử $c$ không là cạnh nhỏ nhất, giả sử $c\geq a$

Có: $ c^2+b^2 \geq a^2 + b^2 > 5c^2$

$\Rightarrow b^2 > 4c^2$

$\Leftrightarrow b>2c \geq a+c$

$\Rightarrow  b> a+c$ (vô lý)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 05-09-2014 - 21:18

[hoctrocuaZel]

Đề số 2

Câu 1: 1. Gpt: $\sqrt{2-x^2}+\sqrt{x^2+8}=4$

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=7\\ x^4+x^2y^2+y^4=21 \end{matrix}\right.$

Câu 2:Cho các sô a,b thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{matrix} a^3-3ab^2=19\\ b^3-3a^2b=98 \end{matrix}\right.$

Tính $P=a^2+b^2$.

Câu 3: Cho các số a,b,c thuộc [0;1]. CMR: $a+b^2+c^3-ab-ac-bc\leq 1$

Câu 4:

Cho hình vuông ABCD, hai tia Ax, Ay quay quanh A luôn tạo vs nhau 1 góc 45 độ. chúng cắt cạnh BC,CD ở E,F, cắt đường chéo BD tại P,Q.

a) CMR: $S_{AEF}=2.S_{APQ}$

b) CMR độ dài đường cao AH của tam giác AEF kg đổi.

c) Xác định vị trí của Ax, Ay để $S_{AEF}$ max.

Câu 5: 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n để n+26 và n-11 đều là lập phương của một số nguyên dương.

b) Cho x,y,z thay đổi: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm Max: $P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}.(\sum x^2.(y-z)^2)$

p/s: Tớ chưa có đáp án chính thức, nên làm chung với mọi người luôn .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 06-09-2014 - 15:35

[Viet Hoang 99]

Đề số 2

 

Câu 5: 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n để n+26 và n-11 đều là lập phương của một số nguyên dương.

 

$a)$

 

$\left\{\begin{matrix}n+26=x^3  &  & \\ n-11=y^3  &  &  \end{matrix}\right.$

$(1)-(2)\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=37$

Có: $x-y<x^2+xy+y^2$ moij $x;y>0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x-y=1  &  & \\ x^2+xy+y^2=37  &  &  \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow n=38$

[Viet Hoang 99]

Đề số 2

 

Câu 3: Cho các số a,b,c thuộc [0;1]. CMR: $a+b^2+c^3-ab-ac-bc\leq 1$

 

$3)$

http://truongviethoa...t-01-right.html

[chieckhantiennu]

Đề số 2

 

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=7\\ x^4+x^2y^2+y^4=21 \end{matrix}\right.$

 

 

Hệ td:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-xy=7 & \\ [(x+y)^2-2xy]-x^2y^2=21 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2=7+xy & \\ (7-xy)^2-x^2y^2=21 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2=7+xy & \\ xy=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\pm 3 & \\ xy=2 & \end{matrix}\right.$

Dễ dàng giải dc hệ này.

[chieckhantiennu]

Đề số 2

Câu 1: 1. Gpt: $\sqrt{2-x^2}+\sqrt{x^2+8}=4$ (1)

 

dk: $-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$.

Do 2 vế ko âm nên ta có:

(1) $\leftrightarrow 2\sqrt{(2-x^2)(x^2+8)}=6$

      $\leftrightarrow (2-x^2)(x^2+8)=9$

 $\leftrightarrow -x^4-6x^2+7=0$

Áp dụng vi-et (các hệ số cộng với nhau bằng 0).Dễ Dàng giải dc pt này. 

[hoctrocuaZel]

Câu 2:Cho các sô a,b thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{matrix} a^3-3ab^2=19\\ b^3-3a^2b=98 \end{matrix}\right.$

Tính $P=a^2+b^2$.

 

2/ 

PT (1) bình phương cộng phương trình 2 bình phương. được:

$(a^2+b^2)^3=19^2+98^2\Leftrightarrow a^2+b^2=\sqrt[3]{9965}$

p/s: Mai post tiếp, mình chỉ là người đưa đề lên, kg có đáp án trong tay .

[chieckhantiennu]

[hoctrocuaZel]

3a/

Mới giải được ý bé hơn thôi (khá quen thuộc )

Ta có: $a<b+c\rightarrow 2a<a+b+c=2\rightarrow a<1$

Tương tự

Ta có: $(1-a)(1-b)(1-c)>0\Leftrightarrow 2abc<2(ab+ac+bc)-2$

Thay vào đpcm, được: $Vt<(a+b+c)^2-2=2$. đpcm

p/s: Đề rất hay