5. Các bài tập về tích vô hướng
$46)$ Cho tam giác $ABC$ có $AB=2,BC=4,AC=3.$ Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ và $J$là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}.\overrightarrow{AC}.$
Tính $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}$ suy ra độ dài $IJ.$
$47)$ Cho hình thang vuông $ABCD$ , đường cao $AB=3a,AD=2a,BC=\dfrac{9a}{2}$
a.Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}.$ Suy ra góc $\left ( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD} \right ).$
b. Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Tính $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BD}.$
$48)$ Cho tam giác $ABC$ . Chứng minh rằng :
a. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}.(AB^2+AC^2-BC^2)$
b. $AM^2=\dfrac{1}{2}(AB^2+AC^2-\dfrac{1}{2}BC^2)$ với $AM$ là đường trung tuyến
$49)$ Cho tam giác $ABC$ với $G$ là trọng tâm . Chứng minh rằng :
a. $GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$
b. Với mọi điểm $M$ thì $MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2$
$50)$ Cho tam giác $ABC$ với $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp,$G$ là trọng tâm . Chứng minh rằng :
a. $OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2$
b. $OG^2=\dfrac{1}{3}(OA^2+OB^2+OC^2)-\dfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$
$51)$ Cho tam giác $ABC$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, $G$ là trọng tâm . Chứng minh rằng : $$b^2+c^2=2a^2 \Leftrightarrow OG\perp AG$$
$52)$ Cho tam giác $ABC.$ Dựng phía ngoài các tam giác vuông đồng dạng $ABE,ACE$ vuông tại $A.$ Chứng minh trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ vuông góc với $EF.$
$53)$ Cho tam giác $ABC.$ cân tại $C.$ với $CD$ là đường cao. Kẻ $DE$ vuông góc $BC.$ Gọi $M$ là trung điểm $DE.$ Chứng minh $AE$ vuông góc với $CM.$
$54)$ Cho tam giác đều $ABC.$ Lấy các điểm $M,N$ sao cho $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$ Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $CN.$ Chứng minh rằng $\widehat{BIC}=90^0$
$55)$ Cho tứ giác có $2$ đường chéo cắt nhau tại $O.$ Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $AOB$ và $COD.$ Gọi $I,J$ là trung điểm $AD,BC.$ Chứng minh rằng $HK\perp IJ.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 23-11-2014 - 13:33