Chủ đề này có 5 trả lời

[Dung Du Duong]

Cho $m,n\epsilon \mathbb{N}  và m,n\neq 0$. CMR: $x^{n}-1\vdots \left (x^{m}-1  \right )\Leftrightarrow n\vdots m$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 12-09-2014 - 20:57

[tohoproirac]

có $ x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)$

vậy t chỉ cần CM

$ x^{n-1}+x^{n-2}+...+1\vdots \sum_{0}^{m-1}x^{i}$

đến đây để ý bên trái có n phần tử, bên phải có m phần tử

mà n $ \vdots$ m nên thực hiện phép nhóm m phần tử lại sẽ ra ĐPCM

 

đáng lẽ giờ này phải có mấy đứa quái vật vào giải rồi chứ nhỉ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 12-09-2014 - 21:19

[Kool LL]

có $ x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)$

vậy t chỉ cần CM

$ x^{n-1}+x^{n-2}+...+1\vdots \sum_{0}^{m-1}x^{i}$

đến đây để ý bên trái có n phần tử, bên phải có m phần tử

mà n $ \vdots$ m nên thực hiện phép nhóm m phần tử lại sẽ ra ĐPCM

 

đáng lẽ giờ này phải có mấy đứa quái vật vào giải rồi chứ nhỉ 

 

Bạn chỉ mới CM được có 1 chiều là từ $n\ \vdots\ m\Rightarrow x^n-1\ \vdots\ x^m-1$. Còn thiếu chiều ngược lại nữa !!

[Kool LL]

Cho $m,n\epsilon \mathbb{N}  và m,n\neq 0$. CMR: $x^{n}-1\vdots \left (x^{m}-1  \right )\Leftrightarrow n\vdots m$

 

Bổ đề : $\boxed{\forall a,b,n\in\mathbb{N}\ :\ a^n-b^n=(a-b).(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})\ \vdots\ a-b.}$

 

CM - từ $n\ \vdots\ m\Rightarrow x^n-1\ \vdots\ x^m-1$ :

Từ $n\ \vdots\ m\Rightarrow n=k.m\ (k\in\mathbb{N})$

Ta có : $x^n-1=x^{km}-1={(x^m)}^k-1^k\ \vdots\ x^m-1$

 

CM - từ $x^n-1\ \vdots\ x^m-1\Rightarrow n\ \vdots\ m$ :

Xét $n=k.m+r$ với $k,r\in\mathbb{N}\ ;\ 0\le r<m$

• Nếu $k=0$ thì ta có $x^r-1\ \vdots\ x^m-1$
• Nếu $k\ge1$ thì ta có $x^{km+r}-1\ \vdots\ x^m-1\Rightarrow x^m.\left[x^{(k-1)m}-1\right]=x^{km+r}-x^m=(x^{km+r}-1)-(x^m-1)\ \vdots\ x^m-1$

$\Rightarrow x^{(k-1)m+r}-1\ \vdots\ x^m-1$ vì $(x^m,x^m-1)=1$.

Tiếp tục lặp lại quá trình trên, cuối cùng ta cũng suy ra : $x^r-1\ \vdots\ x^m-1$

Tóm lại, từ $x^{kn+r}-1\ \vdots\ x^m-1\Rightarrow x^r-1\ \vdots\ x^m-1$

$\Rightarrow x^r-1=0$ vì $x^r-1<x^m-1$

$\Rightarrow r=0$ tức là $n=km\ \vdots\ m$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 15-09-2014 - 10:42

[Dung Du Duong]

Ad xóa hộ bài mình sai

xin lỗi mình ko biết xóa chỗ nào,thông cảm nha,mình mới chỉ là binh nhì

[HoangHungChelski]

Cho $m,n\epsilon \mathbb{N}  và m,n\neq 0$. CMR: $x^{n}-1\vdots \left (x^{m}-1  \right )\Leftrightarrow n\vdots m$

Cách khác: Dùng tính chất dãy $Mersenne:$ $\gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{\gcd(m,n)}-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 15-09-2014 - 23:39