Chủ đề này có 1 trả lời

[Phuong Thu Quoc]

Cho các số thực không âm  giảm dần theo thứ tự $a,b,c$ thoả $3ab+5bc+7ca\leq 9$

Tìm GTNN của $P=\frac{32}{\left ( a-b \right )^{4}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{4}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{4}}$

[binhnhaukhong]

Theo giả thiết thì $a>b>c\geq 0$. Do $c=min${$a,b,c$} mà giả thiết là không âm nên dự đoán dấu bằng đạt tại $c=0$.Từ nhận xét đó ta tự tin có các đánh giá sau:

 

$9\geq 7ac+5bc+3ab\geq 3ab\rightarrow  ab\leq 3$

 

Và $P=\frac{32}{(a-b)^4}+\frac{1}{(b-c)^4}+\frac{1}{(c-a)^4}\geq \frac{32}{(a-b)^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{a^4}$

 

Lại do $ab\leq 3$ nên $P\geq \frac{a^2b^2}{9}[\frac{32}{(a-b)^4}+\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}]=A$

 

$A=\frac{1}{9}\left [ \frac{32}{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)^2}+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-2 \right ]$

 

Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}(t>2)$

 

Khảo sát hàm được $Min P=\frac{10}{9}$ dấu bằng đạt tại $c=0,a=\sqrt{6+3\sqrt{3}},b=\sqrt{2+\sqrt{3}}(2\sqrt{3}-3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 14-06-2015 - 08:36