Chủ đề này có 24 trả lời

[tohoproirac]

THPT CHUYÊN NGUYỄN DU - BUÔN MA THUẬT - ĐĂK LĂK

ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 ( VÒNG 1) 

NĂM HỌC 2014-2015

 

Bài 1 (4Đ)

 

               1. Giải phương trình $2x^{2}-3x+7=5\sqrt{x^{3}-2x^{2}-x+2}$

 

               2. Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy^{2}+3x^{2}}+3y\sqrt{y^{2}+3x}=8y\sqrt{x}\\ x^{2}y^{2}-1=3x^{2}+2y^{2}+\sqrt[3]{3x^{2}+3y^{2}+1} \end{matrix}\right.$

 

Bài 2 (4Đ)

           

               1. Cm rằng : Từ 2014 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 729 số có tổng chia hết cho 729

               

               2. Cho $n_{1}, n_{2}, ...., n_{m}$là các số tự nhiên thỏa $n_{1}>n_{2}>...>n_{m}$. Với n là số tự nhiên 

Đặt $P_{n}=2(3^{n}+3^{n_{1}}+....+3^{n_{m}})$

CMR không tồn tại số tự nhiên n với n$>n_{1}$ để $P_{n}$là số chính phương.

 

Bài 3 (4Đ)

 

             1. Cho tam giác ABC, I là trung điểm BC.Qua I kẻ đường thẳng $d_{1}$ cắt AC, AB lần lượt tại M,N và đường thẳng $d_{2}$ 

qua I cắt CA, BA tại P, Q. Đường thẳng PN cắt cạnh BC tại E và đường thẳng QM cắt cạnh BC tại F. CMR IE = IF

 

              2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, một mặt phẳng ($\alpha$) thay đổi qua G cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. TÌm giá trị nhỏ nhất của $T=\left ( \frac{MA}{MS} \right )^{2014}+\left ( \frac{NB}{NS} \right )^{2014}+\left ( \frac{PC}{PS} \right )^{2014}+\left ( \frac{QD}{QS} \right )^{2014}$ 

 

Bài 4(4Đ)

 

             1. cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn a² + b² =1, c- d =3. TÌm GTLN của P = ac + bd - cd

 

             2. Cho x, y, z > -1. CM $\frac{1+x^{2}}{1+y+z^{2}}+\frac{1+y^{2}}{1+z+x^{2}}+\frac{1+z^{2}}{1+x+y^{2}}\geq 2$

 

Bài 5

 

            1. TÌm các hàm thỏa

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

$f\left ( x+y \right )\geq f\left ( x \right )f\left ( y \right )\geq 2014^{x+y}$

 

            2. cho dãy số (x_n),n = 0, 1, 2,.... xác định bởi x₀  = a  , x_n+1 = $\sqrt{1+\frac{1}{x_{n}+1}}$

và a là số cho trước lớn hơn 1. CM rằng (x_n) có giới hạn.

 

P/s: mọi người ai có hướng giải thì nhớ viết đầy đủ, chính xác nhất cho các bạn tiện theo dõi, bàn luận   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 23-09-2014 - 22:53

[chardhdmovies]

 

THPT CHUYÊN NGUYỄN DU - BUÔN MA THUẬT - ĐĂK LĂK

ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 ( VÒNG 1) 

NĂM HỌC 2014-2015

Bài 4(4Đ)

 

             1. cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn a² + b² =1, c- d =3. TÌm GTLN của P = ac + bd - cd

có $P\leq \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}-cd=\sqrt{2d^2+6d+9}-d^2-3d$

tới đây xét hàm làm tiếp

 

NTP

[chardhdmovies]

 

THPT CHUYÊN NGUYỄN DU - BUÔN MA THUẬT - ĐĂK LĂK

ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 ( VÒNG 1) 

NĂM HỌC 2014-2015

 

Bài 1 (4Đ)

 

               1. Giải phương trình $2x^{2}-3x+7=5\sqrt{x^{3}-2x^{2}-x+2}$

pt tương đương $2(x^2-3x+2)+3(x+1)=5\sqrt{(x+1)(x^2-3x+2)}$

tới đây được dạng đẳng cấp rồi

 

NTP

[chardhdmovies]

 

THPT CHUYÊN NGUYỄN DU - BUÔN MA THUẬT - ĐĂK LĂK

ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 ( VÒNG 1) 

NĂM HỌC 2014-2015

 

Bài 1 (4Đ)

 

             

 

               2. Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy^{2}+3x^{2}}+3y\sqrt{y^{2}+3x}=8y\sqrt{x}\\ x^{2}y^{2}-1=3x^{2}+2y^{2}+\sqrt[3]{3x^{2}+3y^{2}+1} \end{matrix}\right.$

từ $PT(1)$ ta có $\sqrt{1+\frac{3x}{y^2}}+3\sqrt{\frac{y^2}{x}+3}=8\Rightarrow x=y^2$

do đó ta có $PT(2)$ $x^3+x=3x^2+3x+1+\sqrt[3]{3x^3+3x+1}$

tới đây xét hàm là được

 

NTP

[Bui Ba Anh]

 

THPT CHUYÊN NGUYỄN DU - BUÔN MA THUẬT - ĐĂK LĂK

ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 ( VÒNG 1) 

NĂM HỌC 2014-2015

 

Bài 5

 

            1. TÌm các hàm thỏa

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

$f\left ( x+y \right )\geq f\left ( x \right )f\left ( y \right )\geq 2014^{x+y}$

 

         

 

Ta có $f(x;y) \geq f(x).f(y) \geq 2014^{x+y}(1)$

+) Cho $x=y=0$ $(1)=>f(0)\geq (f(0))^2\geq 1=>f(0)=1$

+) Cho $y=-x$ $(1)=>1=f(0)=f(x).f(-x) \geq 1=>f(x).f(-x)=1(2)$

+) Cho $y=0$ $(1)=>f(x) \geq 2014^x(3)$ với mọi $x$ thuộc $R$

+) Vì $(3)$ đúng với mọi $x$ nên $f(-x)\geq 2014^-x(3)$

+) Từ $(3),(4)$ thì $f(x).f(-x) \geq 1(5)$

+) Từ $(2),(5)$ suy ra $f(x)=2014^x$ với mọi $x$ thuộc $R$

A-L:)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 23-09-2014 - 19:47

[Bui Ba Anh]

Sai các bác sửa giùm em     

Áp dụng bất đẳng thức $B.C.S$ ta có 

$\sum \frac{1+x^2}{1+y+z^2}\geq \frac{(\sum x^2+3)^2}{\sum[((x^2+1)(1+y+z^2))]}=\frac{(\sum x^2)^2+6\sum x^2+9}{\sum x^2y^2+\sum x+2\sum x^2+\sum x^2y+3}$

Ta sẽ chứng minh $(\sum x^2)^2+6\sum x^2+9 \geq 2(\sum x^2y^2+\sum x+2\sum x^2+\sum x^2y+3)<=>(\sum x^2)^2+2 \sum x^2+3\geq 2\sum x^2y^2+2\sum x+2\sum x^2y<=>\sum x^2y^2+2 \sum x^2+3 \geq 2\sum x+2\sum x^2y((\sum x^2)^2\geq 3\sum x^2y^2)$

Áp dụng $AM-GM$ ta có ngay $\sum x^2y^2+\sum x^2=\sum (x^2y^2+x^2)\geq 2\sum x^2y;$

$\sum x^2+3=\sum(x^2+1)\geq 2\sum x(Q.E.D)$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

A-Q:)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 23-09-2014 - 20:27

[caybutbixanh]

từ $PT(1)$ ta có $\sqrt{1+\frac{3x}{y^2}}+3\sqrt{\frac{y^2}{x}+3}=8\Rightarrow x=y^2$

do đó ta có $PT(2)$ $x^3+x=3x^2+3x+1+\sqrt[3]{3x^3+3x+1}$

tới đây xét hàm là được

 

NTP

Dòng suy ra $y^{2}=x$ kiến anh đau đầu cả buổi trong phòng thi đấy nhé......làm gì cũng phải có căn cứ nếu không cũng bị gạch đi đó .......nên em phải giải thích có cơ sở nhé ( dùng tính đồng biến là xong........)

Kql biết vậy cũng ghi và giải như trên, biết đâu cũng được điểm (((....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 23-09-2014 - 20:40

[chardhdmovies]

Dòng suy ra $y^{2}=x$ kiến anh đau đầu cả buổi trong phòng thi đấy nhé......làm gì cũng phải có căn cứ nếu không cũng bị gạch đi đó .......nên em phải giải thích có cơ sở nhé ( dùng tính đồng biến là xong........)

Kql biết vậy cũng ghi và giải như trên, biết đâu cũng được điểm (((....

do em ghi cái hướng thôi,không ghi rõ bài nên anh thông cảm

 

NTP

[Bui Ba Anh]

Gọi $K$ là giao điểm của $QI$ với $ME$

Áp dụng định lý $Menelauys$ vào tam giác $MFE$,ta có $\frac{MK}{KE}.\frac{EI}{FI}.\frac{FQ}{MQ}=1(1)$

Áp dụng định lý $Menelauys$ vào tam giác $MFI$,ta có $\frac{MN}{NI}.\frac{IB}{BF}.\frac{QF}{MQ}=1(2)$

Áp dụng định lý $Ceva$ vào tam giác $MIE$,ta có $\frac{MK}{KE}.\frac{EC}{IC}.\frac{IN}{NM}=1(3)$

Nhân vế theo vế của $(2),(3)$ ta suy ra $\frac{MK}{KE}.\frac{EC}{BF}.\frac{QF}{MQ}=1(4)$

Từ $(1),(4)$ ta có $\frac{EI}{FI}=\frac{EC}{BF}=\frac{EI-EC}{FI-BF}=1=>EI=FI(Q.E.D)$

A-L:)

[chardhdmovies]

áp dụng định lí $menaluuyt$ cho $\Delta ABC$ cát tuyến $QME$ ta có $\frac{EC}{EB}.\frac{QB}{QA}.\frac{MA}{MC}=1$     $(1)$

tương tự với cát tuyến $PNF$ ta có $\frac{FB}{FC}.\frac{PC}{PA}.\frac{NA}{NB}=1$         $(2)$

từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \frac{EC}{EB}.\frac{QB}{QA}.\frac{MA}{MC}=\frac{FB}{FC}.\frac{PC}{PA}.\frac{NA}{NB}$       $(3)$

áp dụng định lí $menaluuyt$ cho $\Delta ABC$ cát tuyến $PIQ$ ta có $\frac{QA}{QB}.\frac{IB}{IC}.\frac{PC}{PA}=1\Rightarrow \frac{QA}{QB}=\frac{PC}{PA}$             $(4)$

tương tự với cát tuyến $NIM$ ta có $\frac{MA}{MC}=\frac{NA}{NB}$                                $(5)$

từ $(3),(4)$ và $(5)$ ta có $\frac{EC}{EB}=\frac{FB}{FC}\Rightarrow \frac{EC}{FB}=\frac{EB}{FC}=\frac{EB-EC}{FC-FB}=1\Rightarrow EC=FB\Rightarrow IE=IF$

 

p/s:cách này em học được trên lớp hôm nay

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 24-09-2014 - 12:50

[chardhdmovies]

Bài 2 (4Đ)

           

               1. Cm rằng : Từ 2014 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 729 số có tổng chia hết cho 729

Lâu rồi ko lên VMF

*Bổ đề $(1)$: Trong $5$ số tự nhiên bất kì luôn tìm được $3$ số có tổng chia hết cho $3$ (Dễ cm).
*Bổ đề $(2)$: Trong $53$ số tự nhiên bất kì luôn tìm được $27$ số có tổng chia hết cho $27$
Cm: chia tập $53$ số thành các tập con và áp dụng bổ đề $(1)$
*Bổ đề $(3)$: Trong $1457$ số tự nhiên bất kì luôn tìm được $729$ số có tổng chia hết cho $729$
Cm:
Gọi tập $1457$ số tự nhiên bất kì là tập $X, |X|=1457=53.27+26$
Áp dụng bổ đề $(2)$, tồn tại $27$ phần tử có tổng chia hết cho $27$, gọi tổng này là $B_{1}$
Số các phần tử khác còn lại trong tập $X$ là $52.27+26$, áp dụng bổ đề $(2)$ thì tồn tại $27$ phần tử có tổng chia hết cho $27$, gọi tổng này là $B_{2}$
Số các phần tử khác còn lại trong tập $X$ là $51.27+26$, áp dụng bổ đề $2$ thì tồn tại $27$ phần tử có tổng chia hết cho $27$, gọi tổng này là $B_{3}$
Tiếp tục như vậy đến khi số phần tử của $X$ còn lại là $26$.
Như vậy ta đã có $53$ tổng $B_{i} \vdots 27, (i=\overline{1,53})$, lại áp dụng bổ đề $(2)$ thì trong $53$ tổng này ta luôn tìm được $27$ tổng có tổng chia hết cho $27$, gọi tổng đó là $C$, khi đó ta có $C$ là tổng của $27.27=729$ phần tử thuộc $X$ và $C \vdots 27.27=729$
Vậy, bổ đề $(3)$ được cm.

Trở lại bài toán:
Áp dụng bổ đề $(3)$ với $2014$ số tự nhiên $(2014>1457)$, ta có ngay $Q.E.D$

Mình không biết bài này có tổng quát ko chứ mình thấy cách này có vẻ hơi trâu bò mà cũng chưa chắc chắn là đúng 
NRC
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 24-09-2014 - 16:23

[Bui Ba Anh]

Lâu rồi ko lên VMF

*Bổ đề $(1)$: Trong $5$ số tự nhiên bất kì luôn tìm được $3$ số có tổng chia hết cho $3$ (Dễ cm).
*Bổ đề $(2)$: Trong $53$ số tự nhiên bất kì luôn tìm được $27$ số có tổng chia hết cho $27$
Cm: chia tập $53$ số thành các tập con và áp dụng bổ đề $(1)$
*Bổ đề $(3)$: Trong $1457$ số tự nhiên bất kì luôn tìm được $729$ số có tổng chia hết cho $729$
Cm:
Gọi tập $1457$ số tự nhiên bất kì là tập $X, |X|=1457=53.27+26$
Áp dụng bổ đề $(2)$, tồn tại $27$ phần tử có tổng chia hết cho $27$, gọi tổng này là $B_{1}$
Số các phần tử khác còn lại trong tập $X$ là $52.27+26$, áp dụng bổ đề $(2)$ thì tồn tại $27$ phần tử có tổng chia hết cho $27$, gọi tổng này là $B_{2}$
Số các phần tử khác còn lại trong tập $X$ là $51.27+26$, áp dụng bổ đề $2$ thì tồn tại $27$ phần tử có tổng chia hết cho $27$, gọi tổng này là $B_{3}$
Tiếp tục như vậy đến khi số phần tử của $X$ còn lại là $26$.
Như vậy ta đã có $53$ tổng $B_{i} \vdots 27, (i=\overline{1,53})$, lại áp dụng bổ đề $(2)$ thì trong $53$ tổng này ta luôn tìm được $27$ tổng có tổng chia hết cho $27$, gọi tổng đó là $C$, khi đó ta có $C$ là tổng của $27.27=729$ phần tử thuộc $X$ và $C \vdots 27.27=729$
Vậy, bổ đề $(3)$ được cm.

Trở lại bài toán:
Áp dụng bổ đề $(3)$ với $2014$ số tự nhiên $(2014>1457)$, ta có ngay $Q.E.D$

Mình không biết bài này có tổng quát ko chứ mình thấy cách này có vẻ hơi trâu bò mà cũng chưa chắc chắn là đúng 
NRC
 

Bài này mình chưa hiểu $2$ vấn đề

+) Thứ nhất là bài toán này quan trong nhất ở bổ đề $2$, bạn có thể nói rõ được không???    

+) Thứ 2: Bạn kết luận $27$ tổng mà mỗi tổng chia hết cho $27$ thì tổng lớn sẽ chia hết $729$. Lấy trường hợp thử yếu hơn: Có $3$ tổng mà mỗi tổng chia hết cho $3$ thì tổng lớn chia hết cho 9. Xét bộ sau $(3,6,9),(12,15,18),(21,24,30)$ có tổng không chia hết cho $9$. Bạn giải thích được không??

A-L:)

[chardhdmovies]

Bài này mình chưa hiểu $2$ vấn đề

+) Thứ nhất là bài toán này quan trong nhất ở bổ đề $2$, bạn có thể nói rõ được không???      

+) Thứ 2: Bạn kết luận $27$ tổng mà mỗi tổng chia hết cho $27$ thì tổng lớn sẽ chia hết $729$. Lấy trường hợp thử yếu hơn: Có $3$ tổng mà mỗi tổng chia hết cho $3$ thì tổng lớn chia hết cho 9. Xét bộ sau $(3,6,9),(12,15,18),(21,24,30)$ có tổng không chia hết cho $9$. Bạn giải thích được không??

A-L:)

 

Bạn nhầm rồi, áp dụng bổ đề $(2)$ thì Tổng của $27$ tổng này chia hết cho $27$ mà mỗi tổng chia hết cho $27$ nên Tổng lớn chia hết cho $729$.
 

Theo yêu cầu của bạn thì mình cũng chứng luôn bổ đề $(2).

Gọi tập $53$ số nguyên là $A, |A|=53=17.3+2$, với cách giải tương tự như trong phần chứng minh bổ đề $(3)$, áp dụng bổ đề $(1)$ thì ta chọn ra được $17$ tổng "nhỏ" chia hết cho $3$, (mỗi tổng "nhỏ" gồm $3$ số).
$17=5.3+2$ nên tiếp tục bổ đề $(1)$ ta chọn ra được $5$ tổng "vừa" chia hết cho $9$, (mỗi tổng "vừa" gồm $9$ số).
Tiếp tục áp dụng bổ đề $(1)$, từ $5$ tổng "vừa" ta chọn ra được $1$ tổng "lớn" gồm $27$ số chia hết cho $27$, từ đó bổ đề được chứng minh.

NRC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 26-09-2014 - 18:14

[chardhdmovies]

 

Bài 2 (4Đ)

      2. Cho $n_{1}, n_{2}, ...., n_{m}$là các số tự nhiên thỏa $n_{1}>n_{2}>...>n_{m}$. Với n là số tự nhiên 

Đặt $P_{n}=2(3^{n}+3^{n_{1}}+....+3^{n_{m}})$

CMR không tồn tại số tự nhiên n với n$>n_{1}$ để $P_{n}$là số chính phương.

giả sử tồn tại $n>n_1>n_2>...>n_m$ để $P_n$ là số chính pưương

$\blacksquare$ xét $n_m=2k$ thì ta có $P_n=2(3^n+3^{n_1}+3^{n_2}+...+3^{2k})=2.3^{2k}(3^{n-2k}+3^{n_1-2k}+3^{n_2-2k}+...+1)$

$\Rightarrow \frac{P_n}{3^{2k}}=2(3^{n-2k}+3^{n_1-2k}+3^{n_2-2k}+...+1)$             $(*)$

dễ thấy $\frac{P_n}{3^{2k}}$ là số chính phương mà $VP(*)$ chia $3$ dư $2$ nên vô lí

$\blacksquare$ xét $n_m=2k+1$ thì ta có $P_n=2(3^n+3^{n_1}+3^{n_2}+...+3^{2k+1})=2.3^{2k+1}(3^{n-2k-1}+3^{n_1-2k-1}+3^{n_2-2k-1}+...+1)$

$\Rightarrow \frac{P_n}{3^{2k}}=2.3(3^{n-2k-1}+3^{n_1-2k-1}+3^{n_2-2k-1}+...+1)$           $(**)$

dễ thấy $\frac{P_n}{3^{2k}}$ là số chính phương 

mà $\frac{P_n}{3^{2k}}\vdots 3\Rightarrow \frac{P_n}{3^{2k}}\vdots 9\Rightarrow (3^{n-2k-1}+3^{n_1-2k-1}+3^{n_2-2k-1}+...+1)\vdots 3$

mà điều này vô lí

do đó giả sử vô lí nên có đpcm

 

P/s:bài này là từ báo $THTT$ số $396$

 

NTP

[chardhdmovies]

 

Bài 2 (4Đ)

           

               1. Cm rằng : Từ 2014 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 729 số có tổng chia hết cho 729

$1$ cách tổng quát hơn cho bài toán này là từ $2n-1$ số nguyên dương bất kì luôn tìm được $n$ số có tổng chia hết cho $n$

xem bài toán $4$ trang $15$ ở đây   THTT 383 (05-2009).pdf   12.08MB   130 Số lần tải

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 26-09-2014 - 04:51

[chardhdmovies]

Bài này mình chưa hiểu $2$ vấn đề

+) Thứ nhất là bài toán này quan trong nhất ở bổ đề $2$, bạn có thể nói rõ được không???    

+) Thứ 2: Bạn kết luận $27$ tổng mà mỗi tổng chia hết cho $27$ thì tổng lớn sẽ chia hết $729$. Lấy trường hợp thử yếu hơn: Có $3$ tổng mà mỗi tổng chia hết cho $3$ thì tổng lớn chia hết cho 9. Xét bộ sau $(3,6,9),(12,15,18),(21,24,30)$ có tổng không chia hết cho $9$. Bạn giải thích được không??

A-L:)

ở bổ đề $2$ thì NRC đã làm đúng,bạn có thể xem ở báo $THTT$ mình đăng ở trên

vấn đề thứ hai mà cậu muốn nói thì trong báo đã có trường hợp tương tự nhưng mình nói ra cho mọi người tiện theo dõi là

không mất tính tổng quát gọi bộ $53$ số đó là $(a_1,a_2,...,a_{27}),(a_{28},a_{29},...,a_{54}),...,(a_{1405},a_{1406},...,a_{1431})$

đặt $x_1=\frac{a_1+a_2+...+a_{27}}{27},x_2=\frac{a_{28}+a_{29}+...+a_{54}}{27},...,x_{53}=\frac{a_{1405}+a_{1406}+...+a_{1431}}{27}$

ta có $x_1,x_2,...,x_{53}$ nguyên

thì vẫn theo bổ đề $2$ nên trong $x_1,x_2,...,x_{53}$ tồn tại $27$ số có tổng chia hết $27$ giả sử đó là $x_1,x_2,...,x_{27}$

ta có $a_1+a_2+...+a_{729}=27(x_1+x_2+...+x_{27})\vdots 729$

do đó có đpcm

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 26-09-2014 - 05:02

[19kvh97]

 

THPT CHUYÊN NGUYỄN DU - BUÔN MA THUẬT - ĐĂK LĂK

ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 ( VÒNG 1) 

NĂM HỌC 2014-2015

 

Bài 5

 

         

 

            2. cho dãy số (x_n),n = 0, 1, 2,.... xác định bởi x₀  = a  , x_n+1 = $\sqrt{1+\frac{1}{x_{n}+1}}$

và a là số cho trước lớn hơn 1. CM rằng (x_n) có giới hạn.

 

P/s: mọi người ai có hướng giải thì nhớ viết đầy đủ, chính xác nhất cho các bạn tiện theo dõi, bàn luận   

 

dễ thấy $x_n>1$ do đó từ công thức truy hồi suy ra $x_n<\sqrt{\frac{3}{2}}$

Mặt khác theo bđt bernoulli ta có $x_{n+1}=(1+\frac{1}{x_n+1})^{\frac{1}{2}}\geq1+\frac{1}{2(x_n+1)}$

mà ta có $1+\frac{1}{2(x_n+1)}\geq x_n\Leftrightarrow x^2_n\leq \frac{3}{2}$ (đúng do $x_n<\sqrt{\frac{3}{2}}$)

suy $x_n$ là dãy tăng do đó $x_n$ có giới hạn là a thỏa mãn $f(a)=a^3+a^2-a-2=0$ dễ thấy $f(1).f(\sqrt{\frac{3}{2}})<0$ nên $x_n$ tồn tại giới hạn hữu hạn 

P/s: cho xin ý kiến ạ :3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 19kvh97: 26-09-2014 - 17:41

[Bui Ba Anh]

giả sử tồn tại $n>n_1>n_2>...>n_m$ để $P_n$ là số chính pưương

$\blacksquare$ xét $n_m=2k$ thì ta có $P_n=2(3^n+3^{n_1}+3^{n_2}+...+3^{2k})=2.3^{2k}(3^{n-2k}+3^{n_1-2k}+3^{n_2-2k}+...+1)$

$\Rightarrow \frac{P_n}{3^{2k}}=2(3^{n-2k}+3^{n_1-2k}+3^{n_2-2k}+...+1)$             $(*)$

dễ thấy $\frac{P_n}{3^{2k}}$ là số chính phương mà $VP(*)$ chia $3$ dư $2$ nên vô lí

$\blacksquare$ xét $n_m=2k+1$ thì ta có $P_n=2(3^n+3^{n_1}+3^{n_2}+...+3^{2k+1})=2.3^{2k+1}(3^{n-2k-1}+3^{n_1-2k-1}+3^{n_2-2k-1}+...+1)$

$\Rightarrow \frac{P_n}{3^{2k}}=2.3(3^{n-2k-1}+3^{n_1-2k-1}+3^{n_2-2k-1}+...+1)$           $(**)$

dễ thấy $\frac{P_n}{3^{2k}}$ là số chính phương 

mà $\frac{P_n}{3^{2k}}\vdots 3\Rightarrow \frac{P_n}{3^{2k}}\vdots 9\Rightarrow (3^{n-2k-1}+3^{n_1-2k-1}+3^{n_2-2k-1}+...+1)\vdots 3$

mà điều này vô lí

do đó giả sử vô lí nên có đpcm

 

P/s:bài này là từ báo $THTT$ số $396$

 

NTP

Bạn cho mình hỏi tại sao phải xét chẵn lẻ vì mình thấy TH1 và 2 đều giống nhau. Tks

B.B.A:)

[chardhdmovies]

Bạn cho mình hỏi tại sao phải xét chẵn lẻ vì mình thấy TH1 và 2 đều giống nhau. Tks

B.B.A:)

trường hợp $n_m$ lẻ thì $VP(**)$ chia hết cho $3$ khác ở trường hợp $n_m$ chẵn

 

NTP

[Bui Ba Anh]

trường hợp $n_m$ lẻ thì $VP(**)$ chia hết cho $3$ khác ở trường hợp $n_m$ chẵn

 

NTP

Như vậy thì mình có thể chia ngay $3^{2k+1}$ thay vì chia $3^{2k}$ chứ

Vậy thì coi như là chia $n$ rồi. 2 TH đều chia $n$ để khỏi phải đặt thì ổn hơn chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 26-09-2014 - 22:17