SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG 1
LONG AN Môn thi: Toán (Bảng B)
Ngày thi: 30/09/2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút
Câu 1 (6,0 điểm)
a) Giải phương trình sau trên tập số thực: $2x^2+3x+7=(x+5)\sqrt{2x^2+1}$
b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\begin{cases}(x+\sqrt{x^2+4})(y+\sqrt{y^2+1})=2\\6y^2-5y+1=\sqrt[3]{x^3+1}\end{cases}$
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d)$ có phương trình: $x-y+1=0$, đường tròn (C) có phương trình $(x-1)^2+(y+2)^2=9$ và điểm $P(-1;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(d)$ sao cho từ $M$ kẻ tới (C) hai tiếp tuyến $MA,\,MB$ ($A, B$ là các tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ $P$ tới đường thẳng $AB$ lớn nhất.
b) Cho tam giác không vuông ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại M. Đường thẳng AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng: $\dfrac{NB}{NC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$
Câu 3 (3,0 điểm)
Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi: $\begin{cases}u_1=2\\u_{n+1}=u_n^2+u_n,\,\forall n\in\mathbb{N^*}\end{cases}$
a) Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên.
b) Đặt $x_n=\dfrac{u_1}{u_2}+\dfrac{u_2}{u_3}+...+\dfrac{u_n}{u_{n+1}}.\,\forall n\in\mathbb{N^*}$. Tìm $\lim\,x_n$.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:$$\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\le 1$$
Câu 5 (3,0 điểm)
Tìm $m$ để đồ thị $(C_m)$ của hàm số $y=x^4-2(m-1)x^2+2m^2-m+1$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 01-10-2014 - 16:03