Chủ đề này có 6 trả lời

[Phuong Mark]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c\leq 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$P=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 02-12-2014 - 21:48

[lethanhson2703]

Áp dụng bất đẳng thức Minkopxki ta có

$P\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}$

Ta sẽ đi tìm GTNN của biểu thức: $(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2$

Đến đây Chọn điểm rơi là ra 

!!  Lười không muốn là nữa

[kanashini]

$P\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+\frac{81}{(a+b+c)^2}}\geq \sqrt{2+\frac{80}{(a+b+c)^2}}\geq \sqrt{82}$

[Phuong Mark]

Áp dụng bất đẳng thức Minkopxki ta có

$P\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}$

Ta sẽ đi tìm GTNN của biểu thức: $(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2$

Đến đây Chọn điểm rơi là ra 

!!  Lười không muốn là nữa

 

$P\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+\frac{81}{(a+b+c)^2}}\geq \sqrt{2+\frac{80}{(a+b+c)^2}}\geq \sqrt{82}$

các bạn thử dùng AM-GM với Holder xem sao

[kanashini]

Dùng AM-GM:

 

$\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}=\sqrt{a^2+\frac{1}{81a^2}+\frac{1}{81a^2}+...+\frac{1}{81a^2}}\geq \sqrt{82\sqrt[82]{\frac{1}{81^{81}.a^{160}}}}$

 

$\Rightarrow \sum \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}\geq \sqrt{82}.\sum \sqrt[164]{\frac{1}{81^{81}.a^{160}}}\geq 3\sqrt{82}.\sqrt[3]{\sqrt[164]{\frac{1}{(81^{81})^3.a^{160}.b^{160}.c^{160}}}}\geq \sqrt{82}$

[vipboycodon]

Theo bđt bunhia ta có:

 

$\sqrt{(a^2+\dfrac{1}{a^2})(\dfrac{1}{9}+9)} \ge \dfrac{a}{3}+\dfrac{3}{a}$

 

$\leftrightarrow \dfrac{\sqrt{82}}{3}.\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}} \ge \dfrac{a}{3}+\dfrac{3}{a}$

tương tự có: 

 

$\dfrac{\sqrt{82}}{3}.\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \dfrac{b}{3}+\dfrac{3}{b}$

 

$\dfrac{\sqrt{82}}{3}.\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}} \ge \dfrac{c}{3}+\dfrac{3}{c}$

 

$\rightarrow \sum{\dfrac{\sqrt{82}}{3}.\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}} \ge \dfrac{a+b+c}{3}+3(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge \dfrac{a+b+c}{3}+\dfrac{27}{a+b+c}$

 

$= \dfrac{a+b+c}{3}+\dfrac{1}{3(a+b+c)}+\dfrac{80}{3(a+b+c)} \ge \dfrac{82}{3}$

 

$\leftrightarrow \sum{\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}} \ge \sqrt{82}$

 

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = \dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 05-12-2014 - 19:07

[lethanhson2703]

Trong sách những viên kim cươngh trong bất đẳng thức toán học cũng có mấy bài kiểu như thế này.. áp dụng AM-Gm và Bunhia rất hay