Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2014-2015
Môn: toán lớp 9
Thời gian:150 phút
Câu 1
1, cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh $\sqrt{(ab+c)(bc+a)(ac+b)}=(1-a)(1-b)(1-c)$
2, Cho các số dương x,y thỏa mãn $x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=x^{2}+y^{2}=x^{2}\sqrt{x}+y^{2}\sqrt{y}$ Tính giá trị của x+y
Câu 2
1, giải pt $\sqrt{x^{2}+3}+\frac{4x}{\sqrt{x^{2}+3}}=5\sqrt{x}$
2, giải hệ $\left\{\begin{matrix} x^{2}+2y^{2}=2 & \\ 3x^{2}+4xy+4x+3y=y^{2}-4 & \end{matrix}\right.$
Câu 3
1, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $4y-y^{2}+x!=-19$ ($x!=1*2*3*...*x$)
2, Chứng minh nếu các số tự nhiên m,n thỏa mãn $(m-n)^{2}(2013m+2013n+1)(2012m+2012n+1)=m^{2}n^{2}$ thì $2013m+2013n+1$ và $2012m+2012n+1$ đều là số chính phương
Câu 4 Chứng minh rằng với 1 ngũ giác lồi $A_1A_2A_3A_4A_5$ luôn tồn tại 3 đỉnh liên tiếp sao cho đường tròn đi qua 3 điểm đó sẽ đi qua hoặc chứa bên trong nó tất cả các đỉnh của ngũ giác lồi này.
Câu 5
1, Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn: không có số chính phương m nào sao cho n<m<2n
2, Chứng minh với số nguyên dương n bất kỳ và $ n\geq 10$ thì luôn có ít nhất 1 số nguyên dương k sao cho $n<k^{3}<3n$