Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng:$2\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Cho các số thực không âm $x,y$ thỏa mãn $x+y=2$.Chứng minh rằng:$2\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}$

Đẳng thức xảy ra khi nào?



#2
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

a) $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2\sqrt{xy(x^{2}+y^{2})}+xy\leq 6\Leftrightarrow (x+y)^{2}-xy+2\sqrt{xy\left [ (x+y)^{2}-2xy \right ]}\leq 6\Leftrightarrow 4-xy+2\sqrt{xy(4-2xy)}\leq 6\Leftrightarrow xy+2\geq 2\sqrt{4xy-2x^{2}y^{2}}\Leftrightarrow x^{2}y^{2}+4xy+4\geq 16xy-8x^{2}y^{2}\Leftrightarrow (3xy-2)^{2}\geq 0$

luôn đúng

b) Tương tự


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 12-03-2015 - 03:36


#3
huuhieuht

huuhieuht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Sao không tách $\sqrt{XY}$ bởi $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2XY}$ rồi áp dụng B.C.S phải nhanh hơn không


Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)   :D  :D  :D  :like  ~O) 


#4
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Cách khác nè: Từ giả thiết $x+y=2\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4-2xy$

Áp dụng BĐT CauChy được $P^{2}=4-xy+2\sqrt{2xy(2-xy)}\leq 4-xy+(2xy+2-xy)=6\Rightarrow P\leq \sqrt{6}$

Mặt khác $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\geq \frac{xy}{4}\Rightarrow P^{2}=x^{2}+y^{2}+xy+2\sqrt{xy(x^{2}+y^{2})}\geq x^{2}+y^{2}+xy+xy=4\Rightarrow P\geq 2$



#5
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Cho các số thực không âm $x,y$ thỏa mãn $x+y=2$.Chứng minh rằng:$2\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Cach khac ne$(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy})^2= (\sqrt{x^2+y^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2xy})^2=\left ( 1+\frac{1}{2} \right )(x+y)^2=\frac{3}{2}.4=6\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}$



#6
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Cách khác nè: Từ giả thiết $x+y=2\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4-2xy$

Mặt khác $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\geq \frac{xy}{4}\Rightarrow P^{2}=x^{2}+y^{2}+xy+2\sqrt{xy(x^{2}+y^{2})}\geq x^{2}+y^{2}+xy+xy=4\Rightarrow P\geq 2$

Sao bạn không kiểm tra điểm dừng của BĐT

Khi $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ thì dấu " = " xảy ra <=> x=y

Khi $2xy\geq \frac{xy}{4}$ thì dấu " = " xảy ra khi x, y có 1 số bằng 0

Vậy tóm lại, dấu "=" xảy ra <=> x=y=0 hoặc x=y=2, thử lại không thỏa mãn



#7
huuhieuht

huuhieuht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Sao bạn không kiểm tra điểm dừng của BĐT

Khi $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ thì dấu " = " xảy ra <=> x=y

Khi $2xy\geq \frac{xy}{4}$ thì dấu " = " xảy ra khi x, y có 1 số bằng 0

Vậy tóm lại, dấu "=" xảy ra <=> x=y=0 hoặc x=y=2, thử lại không thỏa mãn

dấu = xảy ra khi x=0;y=2 và hoán vị mà!!!!!


Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)   :D  :D  :D  :like  ~O) 


#8
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

dấu = xảy ra khi x=0;y=2 và hoán vị mà!!!!!

Đúng là như vậy, nhưng theo cách giải của bạn hachinh2013 thì có đoạn $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ thì bắt buộc x=y mới xảy ra dấu = chứ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 14-04-2015 - 17:24





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh