Cho các số thực không âm $x,y$ thỏa mãn $x+y=2$.Chứng minh rằng:$2\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho các số thực không âm $x,y$ thỏa mãn $x+y=2$.Chứng minh rằng:$2\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
a) $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2\sqrt{xy(x^{2}+y^{2})}+xy\leq 6\Leftrightarrow (x+y)^{2}-xy+2\sqrt{xy\left [ (x+y)^{2}-2xy \right ]}\leq 6\Leftrightarrow 4-xy+2\sqrt{xy(4-2xy)}\leq 6\Leftrightarrow xy+2\geq 2\sqrt{4xy-2x^{2}y^{2}}\Leftrightarrow x^{2}y^{2}+4xy+4\geq 16xy-8x^{2}y^{2}\Leftrightarrow (3xy-2)^{2}\geq 0$
luôn đúng
b) Tương tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 12-03-2015 - 03:36
Sao không tách $\sqrt{XY}$ bởi $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2XY}$ rồi áp dụng B.C.S phải nhanh hơn không
Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)
Cách khác nè: Từ giả thiết $x+y=2\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4-2xy$
Áp dụng BĐT CauChy được $P^{2}=4-xy+2\sqrt{2xy(2-xy)}\leq 4-xy+(2xy+2-xy)=6\Rightarrow P\leq \sqrt{6}$
Mặt khác $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\geq \frac{xy}{4}\Rightarrow P^{2}=x^{2}+y^{2}+xy+2\sqrt{xy(x^{2}+y^{2})}\geq x^{2}+y^{2}+xy+xy=4\Rightarrow P\geq 2$
Cho các số thực không âm $x,y$ thỏa mãn $x+y=2$.Chứng minh rằng:$2\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cach khac ne$(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy})^2= (\sqrt{x^2+y^2}+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2xy})^2=\left ( 1+\frac{1}{2} \right )(x+y)^2=\frac{3}{2}.4=6\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}$
Cách khác nè: Từ giả thiết $x+y=2\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4-2xy$
Mặt khác $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\geq \frac{xy}{4}\Rightarrow P^{2}=x^{2}+y^{2}+xy+2\sqrt{xy(x^{2}+y^{2})}\geq x^{2}+y^{2}+xy+xy=4\Rightarrow P\geq 2$
Sao bạn không kiểm tra điểm dừng của BĐT
Khi $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ thì dấu " = " xảy ra <=> x=y
Khi $2xy\geq \frac{xy}{4}$ thì dấu " = " xảy ra khi x, y có 1 số bằng 0
Vậy tóm lại, dấu "=" xảy ra <=> x=y=0 hoặc x=y=2, thử lại không thỏa mãn
Sao bạn không kiểm tra điểm dừng của BĐT
Khi $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ thì dấu " = " xảy ra <=> x=y
Khi $2xy\geq \frac{xy}{4}$ thì dấu " = " xảy ra khi x, y có 1 số bằng 0
Vậy tóm lại, dấu "=" xảy ra <=> x=y=0 hoặc x=y=2, thử lại không thỏa mãn
dấu = xảy ra khi x=0;y=2 và hoán vị mà!!!!!
Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)
dấu = xảy ra khi x=0;y=2 và hoán vị mà!!!!!
Đúng là như vậy, nhưng theo cách giải của bạn hachinh2013 thì có đoạn $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ thì bắt buộc x=y mới xảy ra dấu = chứ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 14-04-2015 - 17:24
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh