SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014 - 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 31/03/2015
Bài 1: Cho biểu thức $A=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}$ với $x\geq 0;x\neq 1$
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng A không nhận giá trị nguyên với $x\geq 0;x\neq 1$
Bài 2: Giải phương trình $x^{2}+6x+10=2\sqrt{2x+5}$
Bài 3: Cho phương trình $x^{2}-2(a+1)x+2a=0$ (1) (với a là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a.
b) Tìm a để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo là $2\sqrt{3}$.
Bài 4: Cho góc $\widehat{xOy}=60^{0}$. Đường tròn có tâm K tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN tại E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN tại F.
a) Chứng minh rằng hai tam giác MPE và KPQ đồng dạng với nhau.
b) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp.
c) Gọi D là trung điểm của PQ. Chứng minh tam giác DEF đều.
Bài 5: Cho x, y > 0 thỏa mãn $x+y\geq 6$. Tìm GTNN của biểu thức $P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}$
