Chủ đề này có 3 trả lời

[Hoang Tung 126]

   Cho các số thực dương $a,b,c$ .Chứng minh rằng:

 

      $\sqrt[8]{\frac{a^8+b^8}{2}}+\sqrt[8]{\frac{b^8+c^8}{2}}+\sqrt[8]{\frac{c^8+a^8}{2}}\leq (a+b+c)^{10}(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c})^9$

 

 

[khanghaxuan]

Trước hết ta sẽ chứng minh  :  $\sum \sqrt[8]{\frac{a^{8}+b^{8}}{2}}\leq \frac{a^{2}}{b}$

Thật vậy : 

$a^{8}+b^{8}=(a^{2}+b^{2}-\sqrt{2+\sqrt{2}}ab)(a^{2}+b^{2}+\sqrt{2+\sqrt{2}}ab)(a^{2}+b^{2}-\sqrt{2-\sqrt{2}}ab)(a^{2}+b^{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}ab)$

Nên :  $8\sqrt[8]{\frac{a^{8}+b^{8}}{2}}\leq \frac{8a^{2}}{b}$ (Cauchy cho 8 số )

Vậy : $\sum \sqrt[8]{\frac{a^{8}+b^{8}}{2}}\leq \frac{a^{2}}{b}$

Tiếp theo ta sẽ chứng minh :  $\sum \frac{a^{2}}{b}\leq (\sum a)^{10}(\sum \frac{1}{9a})^{9}$

Thật vậy  : 

$VT-\sum a=\sum \frac{(a-b)^{2}}{b}$ (*)

$VP-\sum a=\frac{\sum a}{9^{9}}((\sum a)(\sum \frac{1}{a})^{9}-9^{9})$

            $=\frac{A\sum a}{9^{9}}\sum \frac{(a-b)^{2}}{ab}$(**)

Trong đó :  $A=t^{8}+9t^{7}+...+9^{7}t+9^{8}$ (với $t=(\sum a)(\sum \frac{1}{a})\geq 9$)

Từ (*) và (**) ta có: 

$\sum \frac{(a-b)^{2}}{b}(\frac{A\sum a}{9^{9}a}-1)\geq 0$(***)

mà (***) luôn đúng do :  $A\sum a-9^{9}a\geq a(A-9^{9})\geq 0$

Vậy ta có ĐPCM 

 

********** Ngoài ra ta còn có các BĐT mạnh hơn sau : 

1. $\sum \sqrt[8]{\frac{a^{8}+b^{8}}{2}}+\sum \frac{(a-b)^{2}(b+c)}{ab}\leq (\sum a)^{10}(\sum \frac{1}{9a})^{9}$

2. $\sum \sqrt[8]{\frac{a^{8}+b^{8}}{2}}\leq (\sum a)^{5}(\sum \frac{1}{9a})^{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 26-04-2015 - 08:46

[binhnhaukhong]

Khi thay $\sqrt[8]{\frac{a^8+b^8}{2}}$ bởi $\sqrt[7]{\frac{a^7+b^7}{2}}$ thì BĐT vẫn đúng

[dogsteven]

Khi thay $\sqrt[8]{\frac{a^8+b^8}{2}}$ bởi $\sqrt[7]{\frac{a^7+b^7}{2}}$ thì BĐT vẫn đúng

Điều này là hiển nhiên theo bất đẳng thức trung bình lũy thừa.