Chủ đề này có 1 trả lời

[buomdem]

Cho $a, b, c >0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3a^2b^2c^2$. Chứng minh rằng:

$$ab+bc+ca-abc\geq 2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buomdem: 07-05-2015 - 02:40

[nhungvienkimcuong]

Cho $a, b, c >0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3a^2b^2c^2$. Chứng minh rằng:

$$ab+bc+ca-abc\geq 2$$

đối biến $\left ( \frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c} \right )\rightarrow (x,y,z)$ thì ta có $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3$ và ta cần chứng minh

$x+y+z\geq 2xyz+1$

WLOG $x\geq y\geq z$ do đó từ gt ta có $1\leq xy<\sqrt{3}$ và $z=\sqrt{\frac{3-x^2y^2}{x^2+y^2}}\leq \sqrt{\frac{3-x^2y^2}{2xy}}$

ta có

$x+y+z-2xyz-1=x+y-1-(2xy-1)z\geq 2\sqrt{xy}-1-(2xy-1)\sqrt{\frac{3-x^2y^2}{2xy}}=(2\sqrt{xy}-1)\left ( 1-(2\sqrt{xy}+1)\sqrt{\frac{3-x^2y^2}{2xy}} \right )$

với $xy\in \left [1,\sqrt{3} \right )$ dễ thấy $(2\sqrt{xy}+1)\sqrt{\frac{3-x^2y^2}{2xy}}\leq 1$ do đó bđt được chứng minh