Đặt : $A=3(\sum a^{2})(\sum a^{2}b^{2})$
$B=\prod (a^{2}+ab+b^{2})$
$C=3(\sum ab)(\sum a^{2}b^{2})$
Khai triển $A,B,C$ ta được :
$A=3\sum a^{4}b^{2}+3\sum a^{2}b^{4}+9a^{2}b^{2}c^{2}$
$B=\sum a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})+\sum (ab)^{3}+3a^{2}b^{2}c^{2}+abc\sum a^{3}+2abc\sum ab(a+b)$
$C=3\sum a^{3}b^{3}+3abc\sum ab(a+b)$
Đầu tiên ta sẽ chứng minh : $A\geq B$
$\Leftrightarrow 2\sum (ab)^{2}(a^{2}+b^{2})+6(abc)^{2}\geq \sum a^{3}b^{3}+abc\sum a^{3}+2abc\sum ab(a+b)(*)$
$(*)$ đúng theo AM-GM do :
$\sum a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{2}c^{2}\geq 2\sum a^{3}b^{2}c$
$\sum a^{2}b^{4}+3(abc)^{2}\geq 2\sum a^{3}bc^{2}$
$\sum a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})\geq 2\sum a^{3}b^{3}$
$\sum a^{4}b^{2}+\sum a^{4}c^{2}\geq 2\sum a^{4}bc=abc\sum a^{3}$
Nên ta có ĐPCM
Tiếp theo ta sẽ chứng minh : $B\geq C$
$\Leftrightarrow \sum a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})+\sum a^{3}b^{3}+3(abc)^{2}+abc\sum a^{3}+2abc\sum ab(a+b)\geq 3\sum a^{3}b^{3}+3abc\sum ab(a+b)$
$\Leftrightarrow \sum a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})+3(abc)^{2}+abc\sum a^{3}\geq abc\sum ab(a+b)+2\sum a^{3}b^{3}(**)$
Mà $(**)$ đúng do :
$\sum a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})\geq 2\sum a^{3}b^{3}$
$\sum a^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)$
Vậy ta có ĐPCM