Đến nội dung

Hình ảnh

$3\sum a^2\sum a^2b^2\geq \prod (a^2+ab+b^2)\geq 3\sum ab\sum a^2b^2$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

 Bài toán : Cho các số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$$3(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ac+a^2)\geq 3(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 29-05-2015 - 06:36


#2
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Đặt : $A=3(\sum a^{2})(\sum a^{2}b^{2})$

         $B=\prod (a^{2}+ab+b^{2})$

         $C=3(\sum ab)(\sum a^{2}b^{2})$

Khai triển $A,B,C$ ta  được : 

$A=3\sum a^{4}b^{2}+3\sum a^{2}b^{4}+9a^{2}b^{2}c^{2}$

$B=\sum a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})+\sum (ab)^{3}+3a^{2}b^{2}c^{2}+abc\sum a^{3}+2abc\sum ab(a+b)$

$C=3\sum a^{3}b^{3}+3abc\sum ab(a+b)$

Đầu tiên ta sẽ chứng minh : $A\geq B$

$\Leftrightarrow 2\sum (ab)^{2}(a^{2}+b^{2})+6(abc)^{2}\geq \sum a^{3}b^{3}+abc\sum a^{3}+2abc\sum ab(a+b)(*)$

$(*)$ đúng theo AM-GM do : 

$\sum a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{2}c^{2}\geq 2\sum a^{3}b^{2}c$

$\sum a^{2}b^{4}+3(abc)^{2}\geq 2\sum a^{3}bc^{2}$

$\sum a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})\geq 2\sum a^{3}b^{3}$

$\sum a^{4}b^{2}+\sum a^{4}c^{2}\geq 2\sum a^{4}bc=abc\sum a^{3}$

Nên ta có ĐPCM :)

 

Tiếp theo ta sẽ chứng minh : $B\geq C$

$\Leftrightarrow \sum a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})+\sum a^{3}b^{3}+3(abc)^{2}+abc\sum a^{3}+2abc\sum ab(a+b)\geq 3\sum a^{3}b^{3}+3abc\sum ab(a+b)$

$\Leftrightarrow \sum a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})+3(abc)^{2}+abc\sum a^{3}\geq abc\sum ab(a+b)+2\sum a^{3}b^{3}(**)$

Mà $(**)$ đúng do : 

$\sum a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})\geq 2\sum a^{3}b^{3}$

$\sum a^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)$

Vậy ta có ĐPCM :)


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh