Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$3(a^4+b^4+c^4)+a^2+b^2+c^2+6\geq 6(a^3+b^3+c^3)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 06-06-2015 - 22:31
Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$3(a^4+b^4+c^4)+a^2+b^2+c^2+6\geq 6(a^3+b^3+c^3)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 06-06-2015 - 22:31
Ta dùng phương pháp tiếp tuyến và bất đẳng thức Schur suy rộng:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$\sum (a-1)^2(3a^2-2)\geqslant 0\Leftrightarrow \sum (2a-b-c)^2(3a^2-2)\geqslant 0\Leftrightarrow \sum (4a^2+b^2+c^2-4)(a-b)(a-c)\geqslant 0$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $4a^2+b^2+c^2-4\geqslant 4a^2+\dfrac{(3-a)^2}{2}-4\geqslant 0$
Giả sử $a\geqslant b\geqslant c\geqslant 0$ thì $4a^2+b^2+c^2-4\geqslant 4b^2+c^2+a^2-4$ nên bất đẳng thức đúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 07-06-2015 - 06:50
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Còn 1 cách nữa khá nhọ là đổi biến để dùng BĐT Schur
Quy Ẩn Giang Hồ.
So goodbye!
Dùng đồng bậc cũng được
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -Cách dùng đồng bậc :
Sau khi đồng bậc 4 cho bđt , khai triển rồi rút gọn thì cuối cùng ta cần chứng minh :
$32\sum a^{4}+18\sum a^{2}b^{2}+30abc\sum a\geq 40\sum ab(a^{2}+b^{2})$
Đến dùng biến đổi SOS ta được :
$\sum (a-b)^{2}(16a^{2}+16b^{2}-8ab-15c^{2})\geq 0 (*)$
Dễ dàng nhận thấy $(*)$ đúng
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$3(a^4+b^4+c^4)+a^2+b^2+c^2+6\geq 6(a^3+b^3+c^3). \quad (2.2.1)$
Spoiler
Đặt $a=x+1,\,b=y+1,\,c=z+1,$ khi đó \[x+y+z= (a-1) + (b-1) + (c-1) = 0.\] Với phép đặt này thì \[\begin{aligned} a^2+b^2+c^2&=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2\\&=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3\\&=x^2+y^2+z^2+3, \end{aligned}\] tương tự \[\begin{aligned} a^3+b^3+c^3& = x^3+y^3+z^3+3(x^2+y^2+z^2)+3, \\ a^4+b^4+c^4& =x^4+y^4+z^4+4(x^3+y^3+z^3)+6(x^2+y^2+z^2)+3. \end{aligned}\] Bất đẳng thức (2.2.1) trở thành \[3(x^4+y^4+z^4)+6(x^3+y^3+z^3)+x^2+y^2+z^2 \ge 0. \quad (2.2.2)\] Giả sử $xy \ge 0,$ rồi thay $z=-x-y$ vào (2.2.2), ta được \[3[x^4+y^4+(x+y)^4]+6[x^3+y^3-(x+y)^3]+x^2+y^2+(x+y)^2 \ge 0,\] \[3(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4)+x^2+xy+y^2\ge 9xy(x+y)\] \[3(x^2+xy+y^2)^2+x^2+xy+y^2\ge 9xy(x+y).\] Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có \[x^2+xy+y^2 \ge \frac{3}{4}(x+y)^2 \ge 3xy \ge 0, \quad (2.2.3)\] suy ra \[3(x^2+xy+y^2)^2+x^2+xy+y^2\ge 27x^2y^2+\frac{3}{4}(x+y)^2.\] Ta chứng minh \[9x^2y^2+\frac{(x+y)^2}{4} \ge 3xy(x+y).\] Cũng theo bất đẳng thức AM-GM, thì \[9x^2y^2+\frac{(x+y)^2}{4} \ge 2\sqrt{9x^2y^2\cdot\frac{(x+y)^2}{4}}=3xy\left | x+y \right |\ge 3xy(x+y). \quad (2.2.4)\] Đẳng thức xảy ra khi (2.2.3) và (2.2.4) trở thành đẳng thức, tức $x,\,y$ là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{aligned} & x=y \\ & 27x^2y^2 = \frac{3}{4}(x+y)^2 \end{aligned}\right.\] Giải hệ này ta được $x=y=0$ hoặc $x=y=\frac{1}{3},$ suy ra $a=b=c=1,$ hoặc $a=b=\frac{4}{3},\,c=\frac{1}{3}$ cùng các hoán vị. Bài toán được chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 16-06-2015 - 22:05
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh