Chủ đề này có 2 trả lời

[butbimauxanh1629]

Đề bài: Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

 Tìm giá trị nhỏ nhất của  A=xy+2yz+zx

[tonarinototoro]

Đề bài: Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

 Tìm giá trị nhỏ nhất của  A=xy+2yz+zx

$\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 0\Rightarrow xy+yz+zx\geq -\frac{1}{2}\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )=-\frac{1}{2}(1)$

$\left | yz \right |=\left | y \right |.\left | z \right |\leq \frac{1}{2}\left ( y^{2} +z^{2}\right )\leq \frac{1}{2}\left ( x^{2}+y^{2} +z^{2}\right )=\frac{1}{2}\Rightarrow yz\geq -\frac{1}{2}(2) $

từ (1) và (2) có $ A\geq -1$

dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} y=-z & & & \\ x=0& & & \\ x+y+z=0& & & \end{matrix}\right.$ và $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

<=> $x=0,y=\frac{\sqrt{2}}{2},z=\frac{-\sqrt{2}}{2}$ hoặc $x=0,y=\frac{-\sqrt{2}}{2},z=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tonarinototoro: 10-06-2015 - 18:07

[Quoc Tuan Qbdh]

$A = xy + 2yz + xz + 1 -1 = xy + 2yz + zx + x^2 + y^2 + z^2 - 1 = (y+z)^2 + x(y+z) + \frac{x^{2}}{4} + \frac{3x^{2}}{4} - 1 = \frac{(x+2y+2z)^{2}}{4} + \frac{3x^{2}}{4} - 1 \geq -1$