Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyen Duc Phu]

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn:

$7\left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right )=6\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+2015$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt{3(2a^2+b^2)}}+\frac{1}{\sqrt{3(2b^2+c^2)}}+\frac{1}{\sqrt{3(2a^2+c^2)}}$

[25 minutes]

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn:

$7\left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right )=6\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+2015$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt{3(2a^2+b^2)}}+\frac{1}{\sqrt{3(2b^2+c^2)}}+\frac{1}{\sqrt{3(2a^2+c^2)}}$

Dễ thấy $\sum \frac{1}{ab}\leqslant \sum \frac{1}{a^2}\Rightarrow 7\sum \frac{1}{a^2}\leqslant 6\sum \frac{1}{a^2}+2015$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\leqslant 2015$

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geqslant \frac{9}{2a^2+b^2}$

Tương tự ta có $3\sum \frac{1}{a^2}\geqslant \sum \frac{9}{2a^2+b^2}\Rightarrow \sum \frac{1}{2a^2+b^2}\leqslant \frac{2015}{3}$

Áp dụng C-S ta có

 $P^2\leqslant \frac{1}{2a^2+b^2}+\frac{1}{2b^2+c^2}+\frac{1}{2c^2+a^2}\leqslant \frac{2015}{3}$

$\Rightarrow P\leqslant \sqrt{\frac{2015}{3}}$

[Nguyen Duc Phu]

Dễ thấy $\sum \frac{1}{ab}\leqslant \sum \frac{1}{a^2}\Rightarrow 7\sum \frac{1}{a^2}\leqslant 6\sum \frac{1}{a^2}+2015$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\leqslant 2015$

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geqslant \frac{9}{2a^2+b^2}$

Tương tự ta có $3\sum \frac{1}{a^2}\geqslant \sum \frac{9}{2a^2+b^2}\Rightarrow \sum \frac{1}{2a^2+b^2}\leqslant \frac{2015}{3}$

Áp dụng C-S ta có

 $P^2\leqslant \frac{1}{2a^2+b^2}+\frac{1}{2b^2+c^2}+\frac{1}{2c^2+a^2}\leqslant \frac{2015}{3}$

$\Rightarrow P\leqslant \sqrt{\frac{2015}{3}}$

Cho em hỏi sao có cái đoạn này.

[25 minutes]

Cho em hỏi sao có cái đoạn này.

Dùng $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3\leqslant \sqrt{(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}$

Ở đây thì $a_1=a_2=a_3=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[Mikhail Leptchinski]

Cho em hỏi sao có cái đoạn này.

Câu này là câu cuối trường chuyên Hùng Vương trên mình

Lời giải

Ta có: $\sum \frac{1}{ab}\leqslant \sum \frac{1}{a^2}\Rightarrow 7\sum \frac{1}{a^2}\leqslant 6\sum \frac{1}{a^2}+2015$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\leqslant 2015$

Áp dụng bất đẳng thức:$a+b+c\leq \sqrt{3}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Từ đó có:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2)}}\leq \sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{3}(\sum \frac{1}{2a^2+b^2})}=\sqrt{\sum \frac{1}{2a^2+b^2}}$

Áp dụng bất đẳng thức:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Từ đó có:$P\leq \sqrt{\frac{1}{9}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2})}=\sqrt{\frac{1}{3}.2015}=\frac{\sqrt{6045}}{3}$