Đến nội dung

Hình ảnh

$(\frac{a}{a+b})^{3}+(\frac{b}{b+c})^{3}+(\frac{c}{c+a})^{3}\leq \frac{3}{8}(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})^{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng : 

$(\frac{a}{a+b})^{3}+(\frac{b}{b+c})^{3}+(\frac{c}{c+a})^{3}\leq \frac{3}{8}(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})^{2}$

 

P/s: Anh (bạn) nào biết kinh nghiệm học tốt phần số học không ? Chứ số dốt quá :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 27-06-2015 - 20:19

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#2
binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết

Huda beer (Bổ đề cho bài toán)

 

$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$ ($abc=1,a>0,b>0,c>0$)

 

Trong đó lấy $a=\frac{a}{b},b=\frac{b}{c},c=\frac{c}{a}$ thì ta có được:

 

$\sum \frac{b^3}{(a+b)^3}\geq 1-\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương:

 

$\sum (1-\frac{a^3}{(a+b)^3})+\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{8(ab+bc+ac)^2}\geq 3$

 

$\sum \frac{b^3}{(a+b)^3}+3\sum\frac{ab}{(a+b)^2} +\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{8(ab+bc+ac)^2}\geq 3$

 

Theo kết quả trên ta cần chỉ ra:

 

$3\sum\frac{ab}{(a+b)^2} +\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{8(ab+bc+ac)^2}\geq 2+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$

 

Chuẩn hóa $a+b+c=1$ Và đặt $p=a+b+c=1,ab+bc+ac=\frac{1-q^2}{3},r=abc$.Ở đây $1\geq q\geq 0$.

 

BĐT đã cho viết lại dưới dạng:

 

$f(r)=\frac{3}{8}(\frac{1+2q^2}{1-q^2})^2+\frac{108r^2+(15+20q^2)r-(1-q^2)^2(1+q^2)}{(1-q^2-3r)^2}\geq 0$

 

Hàm này đồng biến theo $r$ (mất 1 dòng lấy đạo hàm và cũng chả cần biến đổi gì...)

Lại xét trường hợp thôi.

 

Nếu $1\geq q\geq \frac{1}{2}$ thì $r\geq 0$ nên ta có $f(r)\geq f(0) \geq 0$

 

Nếu $0\leq q\leq \frac{1}{2}$ thì ta có $f(r)\geq f(\frac{(1-2q)(1+q)^2}{27}) \geq 0$

 

Vậy BĐT trên là đúng.


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#3
binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết

Hãy thử áp dụng bổ đề:

 

$\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$ (Với $abc=1,a>0,b>0,c>0$)

 

Chứng minh BĐT sau với $a,b,c$ thực dương:

 

$\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2}{(c+a)^2}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+bc+ac)}$


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh