Huda beer (Bổ đề cho bài toán)
$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$ ($abc=1,a>0,b>0,c>0$)
Trong đó lấy $a=\frac{a}{b},b=\frac{b}{c},c=\frac{c}{a}$ thì ta có được:
$\sum \frac{b^3}{(a+b)^3}\geq 1-\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$
BĐT cần chứng minh tương đương:
$\sum (1-\frac{a^3}{(a+b)^3})+\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{8(ab+bc+ac)^2}\geq 3$
$\sum \frac{b^3}{(a+b)^3}+3\sum\frac{ab}{(a+b)^2} +\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{8(ab+bc+ac)^2}\geq 3$
Theo kết quả trên ta cần chỉ ra:
$3\sum\frac{ab}{(a+b)^2} +\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{8(ab+bc+ac)^2}\geq 2+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$
Chuẩn hóa $a+b+c=1$ Và đặt $p=a+b+c=1,ab+bc+ac=\frac{1-q^2}{3},r=abc$.Ở đây $1\geq q\geq 0$.
BĐT đã cho viết lại dưới dạng:
$f(r)=\frac{3}{8}(\frac{1+2q^2}{1-q^2})^2+\frac{108r^2+(15+20q^2)r-(1-q^2)^2(1+q^2)}{(1-q^2-3r)^2}\geq 0$
Hàm này đồng biến theo $r$ (mất 1 dòng lấy đạo hàm và cũng chả cần biến đổi gì...)
Lại xét trường hợp thôi.
Nếu $1\geq q\geq \frac{1}{2}$ thì $r\geq 0$ nên ta có $f(r)\geq f(0) \geq 0$
Nếu $0\leq q\leq \frac{1}{2}$ thì ta có $f(r)\geq f(\frac{(1-2q)(1+q)^2}{27}) \geq 0$
Vậy BĐT trên là đúng.