Chủ đề này có 7 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a,b,c$ là những số dương . Chứng minh rằng 

$\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 11-07-2015 - 00:12

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c$ là những số dương . Chứng minh rằng 

$\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

Ta có:$3(\sum \frac{a^3}{(a+b)^3})^2\geq (\sum \frac{a^2}{(a+b)^2})^3$ (BĐT Holder)

Cần chứng minh:$\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}\geq \frac{3}{4}$

Giờ đặt:$x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$ thì $xyz=1$

BĐT viết lại thành:

$A=\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$

Lại có:$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$ (BĐT rất quen thuộc, chứng minh bằng BĐTĐ)

Do đó:$A\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

BĐT được chứng minh

[the man]

Cho $a,b,c$ là những số dương . Chứng minh rằng 

$\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}}\geq \frac{3}{8}$ 

Xem ở đây

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 11-07-2015 - 11:17

[rainbow99]

Cho $a,b,c$ là những số dương . Chứng minh rằng 

$\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

Cách khác: Từ $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}$

                                                               $\Leftrightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{3}$

                                                               $\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{a+b} \right )^{3}\geq \frac{2}{a^{3}+b^{3}}$

                                                               $\Leftrightarrow \left ( \frac{2c}{b+a} \right )^{3}\geq \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}}$

CMTT ta có: $\sum \left ( \frac{2c}{a+b} \right )^{3}\geq \sum \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}}\geq 2.\frac{3}{2}=3$ (theo BĐT Nesbit)

$\Leftrightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 11-07-2015 - 16:49

[the man]

Cách khác: Từ $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}$

                                                               $\Leftrightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{3}$

                                                               $\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{a+b} \right )^{3}\geq \frac{2}{a^{3}+b^{3}}$

                                                               $\Leftrightarrow \left ( \frac{2c}{b+a} \right )^{3}\geq \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}}$

CMTT ta có: $\sum \left ( \frac{2c}{a+b} \right )^{3}\geq \sum \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}}\geq 2.\frac{3}{2}=3$ (theo BĐT Nesbit)

$\Leftrightarrow Q.E.D$

đã nhầm lẫn. ko có 1 chút Nesbit gì ở đây đâu   

[rainbow99]

đã nhầm lẫn. ko có 1 chút Nesbit gì ở đây đâu   

Đặt: $x=a^{3};y=b^{3};z=c^{3}$ ta có: $\sum \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}}=\sum \frac{2z}{x+y}\geq 3$

Cái này là Nesbit 3 biến mà

[the man]

Đặt: $x=a^{3};y=b^{3};z=c^{3}$ ta có: $\sum \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}}=\sum \frac{2z}{x+y}\geq 3$

Cái này là Nesbit 3 biến mà

bạn cứ coi lại kĩ đi  

[arsfanfc]

Cách khác: Từ $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}$

                                                               $\Leftrightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{3}$

                                                               $\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{a+b} \right )^{3}\geq \frac{2}{a^{3}+b^{3}}$

                                                               $\Leftrightarrow \left ( \frac{2c}{b+a} \right )^{3}\geq \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}}$

CMTT ta có: $\sum \left ( \frac{2c}{a+b} \right )^{3}\geq \sum \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}}\geq 2.\frac{3}{2}=3$ (theo BĐT Nesbit)

$\Leftrightarrow Q.E.D$

Bị lạc rồi...xem kĩ lại đề đi chị   

Đề là chứng minh $\sum \frac{a^3}{(a+b)^3}$ mà chị lại chứng minh $\sum \frac{a^3}{(b+c)^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 11-07-2015 - 17:23