Chủ đề này có 8 trả lời

[hoanglong2k]

 Bài toán : Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực dương $a,b,c$ :

$$\frac{11(a+b+c)}{3}\geq 8\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$$

[Hoang Nhat Tuan]

 Bài toán : Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực dương $a,b,c$ :

$$\frac{11(a+b+c)}{3}\geq 8\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$$

Câu này của thầy Trần Quốc Anh

Trước tiên chứng minh bổ đề:

$\frac{\sum a^3}{\sum a^2}+\frac{8abc}{\sum ab}\leq \frac{11}{9}(\sum a)$ (*)

Sau khi khai triển ra thu được ĐBT:

$S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2\geq 0$ với $S_a=2bc(b+c)+13a^3-11abc$ và $S_b,S_c$ tương tự

Sử dụng AM-GM thì:$S_a\geq 2bc\sqrt{bc}+2bc\sqrt{bc}+13a^3-11abc\geq 3.\sqrt[3]{52}abc-11abc\geq 0$ (luôn đúng)

Tương tự với $S_b$ và $S_c$ thì BĐT (*) được chứng minh

Ở bài toán chính, ta chuẩn hóa $a+b+c=3$ thì cần chứng minh:

$8\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\frac{\sum a^3}{3}}\leq 11$

Áp dụng BĐT Holder thì:

$(\frac{\sum a^3}{\sum a^2}+\frac{8abc}{\sum ab})(\sum a^2+\frac{8}{3\sum ab})(1+\frac{8}{3})$

$\geq (\sqrt[3]{\sum a^3}+\frac{8}{\sqrt[3]{9}\sqrt[3]{abc}})^3$

Để ý rằng với $a+b+c=3$ thì $\sum a^2+\frac{8}{3}\sum ab\leq 11$

Từ đó kết hợp tất cả những điều trên lại với nhau => ĐPCM 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 11-07-2015 - 09:35

[Nguyen Minh Hai]

Câu này của thầy Trần Quốc Anh

Trước tiên chứng minh bổ đề:

$\frac{\sum a^3}{\sum a^2}+\frac{8abc}{\sum ab}\leq \frac{11}{9}(\sum a)$ (*)

Sau khi khai triển ra thu được ĐBT:

$S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2\geq 0$ với $S_a=2bc(b+c)+13a^3-11abc$ và $S_b,S_c$ tương tự

Sử dụng AM-GM thì:$S_a\geq 2bc\sqrt{bc}+2bc\sqrt{bc}+13a^3-11abc\geq 3.\sqrt[3]{52}abc-11abc\geq 0$ (luôn đúng)

Tương tự với $S_b$ và $S_c$ thì BĐT (*) được chứng minh

Ở bài toán chính, ta chuẩn hóa $a+b+c=3$ thì cần chứng minh:

$8\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\frac{\sum a^3}{3}}\leq 11$

Áp dụng BĐT Holder thì:

$\color{red}{(\frac{\sum a^3}{\sum a^2}+\frac{8abc}{\sum ab})(\sum a^2+\frac{8}{3\sum ab})(1+\frac{8}{3}+1)}$

$\color{red}{\geq (\sqrt[3]{\sum a^3}+\frac{8}{\sqrt[3]{9}\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{3})^3}$

Để ý rằng với $a+b+c=3$ thì $\sum a^2+\frac{8}{3}\sum ab\leq 11$

Từ đó kết hợp tất cả những điều trên lại với nhau => ĐPCM 

Ở bước sử dụng BĐT $Holder$ có vấn đề ! 

Đúng ra phải là:

$\left ( \frac{\sum a^3}{\sum a^2}+\frac{8abc}{\sum ab} \right )\left ( \sum a^2+\frac{8\sum ab}{3} \right )\left ( 1+\frac{8}{3} \right )$

 

$\geq \left ( \sqrt[3]{\sum a^3}+\frac{8\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{9}} \right )^3$

 

$= 3\left ( \sqrt[3]{\frac{\sum a^3}{3}}+\frac{8\sqrt[3]{abc}}{3} \right )^3$

 

Spoiler

Tuấn trình bày quá xấu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 11-07-2015 - 08:33

[binhnhaukhong]

Cách tồi tệ nhất:

 

Spoiler

Chỉ cần chứng minh BĐT khi có 2 biến bằng nhau, giả sử $a=b=1$.

[Hoang Nhat Tuan]

Ở bước sử dụng BĐT $Holder$ có vấn đề ! 

Đúng ra phải là:

$\left ( \frac{\sum a^3}{\sum a^2}+\frac{8abc}{\sum ab} \right )\left ( \sum a^2+\frac{8\sum ab}{3} \right )\left ( 1+\frac{8}{3} \right )$

 

$\geq \left ( \sqrt[3]{\sum a^3}+\frac{8\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{9}} \right )^3$

 

$= 3\left ( \sqrt[3]{\frac{\sum a^3}{3}}+\frac{8\sqrt[3]{abc}}{3} \right )^3$

 

Spoiler

Tuấn trình bày quá xấu!

Đã fix

Spoiler

Làm sao có latex màu đỏ vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 11-07-2015 - 09:38

[dogsteven]

Đã fix

Spoiler

Làm sao có latex màu đỏ vậy

$\color{Blue}{Blue}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Đã fix

Spoiler

Làm sao có latex màu đỏ vậy

đánh xong bôi đen --> color tùy ý 

 

[an1712]

Cách tồi tệ nhất:

 

Spoiler

Chỉ cần chứng minh BĐT khi có 2 biến bằng nhau, giả sử $a=b=1$.

pqr hả a

[binhnhaukhong]

pqr hả a

À chuẩn hóa xong dùng định lý $q$