Chủ đề này có 1 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho các số không âm $a,b,c$ chứng minh rằng

$ \sum \sqrt{5a^{2}+4bc} \geq \sqrt{3 \sum a^{2}} + 2 \sum \sqrt{ab}$

[dogsteven]

Bất đẳng thức có tích rời rạc, việc đầu tiên của ta là gom lại.

Bất đẳng thức trên tương đương với: $\sum \dfrac{5a^2}{\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}}\geqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2\sqrt{5a^2+4bc}+2\sum a^2\sqrt{bc}}$

Tiếp theo là "phá căn". Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$\sum a^2\sqrt{5a^2+4bc}\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)\left[5(a^4+b^4+c^4)+4abc(a+b+c)\right]}$

$2\sum a^2\sqrt{bc}\leqslant \dfrac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2+b^2+c^2}(ab+bc+ca)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $5(a^2+b^2+c^2)\geqslant \sqrt{15(a^4+b^4+c^4)+12(ab+bc+ca)}+2(ab+bc+ca)$

Đến đây dễ rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 12-07-2015 - 09:11