Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyen Minh Hai]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thõa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Chứng minh rằng

 

$\frac{1}{1-a^2}+\frac{1}{1-b^2}+\frac{1}{1-c^2}+\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 14-07-2015 - 19:18

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thõa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Chứng minh rằng

 

$\frac{1}{1-a^2}+\frac{1}{1-b^2}+\frac{1}{1-c^2}+\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\geq 9$

BDT $< = > \sum (\frac{1}{1-a^2}-1)+\sum (\frac{1}{1-ab}-1)\geq 3$

$< = > \sum \frac{a^2}{1-a^2}+\sum \frac{ab}{1-ab}\geq 3$
$< = > \sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2-a^2}+\sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}\geq 3$

 $< = > \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}+\sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}\geq 3$ (4)

 Theo BDT Bunhiacopxki ta có :

 

 $\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}+\sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}$
$=\sum \frac{a^4}{a^2b^2+a^2c^2}+\sum \frac{(ab)^2}{ab(a^2+b^2+c^2-ab)}$
$\geq \frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{2\sum a^2b^2+\sum ab(a^2+b^2)+abc(\sum a)-\sum a^2b^2}$
$=\frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{\sum a^2b^2+\sum ab(a^2+b^2)+abc(\sum a)}$  (1)

 

 Ta cần chứng minh : $\frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{\sum a^2b^2+\sum ab(a^2+b^2)+abc(\sum a)}\geq 3$
$< = > (\sum a^2+\sum ab)^2\geq 3abc(\sum a)+3\sum a^2b^2+3\sum ab(a^2+b^2)$
$< = > (\sum a^2)^2+2(\sum a^2)(\sum ab)+(\sum ab)^2\geq 3abc(\sum a)+3\sum ab(a^2+b^2)+3\sum a^2b^2$
$< = > \sum a^4+abc(\sum a)\geq \sum ab(a^2+b^2)$
$< = > a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-a)(c-b)\geq 0$

    BDT này đúng vì đó là Schur bậc 4 

 

Do đó $\frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{\sum a^2b^2+\sum ab(a^2+b^2)+abc(\sum a)}\geq 3$  (2)

 

  Từ (1),(2) $= > \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}+\sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}\geq 3$  (3)

 

 Từ (3),(4) $= > \sum \frac{1}{1-a^2}+\sum \frac{1}{1-ab}\geq 9$

 

 Do đó ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 14-07-2015 - 19:43

[Nguyen Minh Hai]

BDT $< = > \sum (\frac{1}{1-a^2}-1)+\sum (\frac{1}{1-ab}-1)\geq 3$

$< = > \sum \frac{a^2}{1-a^2}+\sum \frac{ab}{1-ab}\geq 3$
$< = > \sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2-a^2}+\sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}\geq 3$

 $< = > \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}+\sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}\geq 3$ (4)

 Theo BDT Bunhiacopxki ta có :

 

 $\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}+\sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}$
$=\sum \frac{a^4}{a^2b^2+a^2c^2}+\sum \frac{(ab)^2}{ab(a^2+b^2+c^2-ab)}$
$\geq \frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{2\sum a^2b^2+\sum ab(a^2+b^2)+abc(\sum a)-\sum a^2b^2}$
$=\frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{\sum a^2b^2+\sum ab(a^2+b^2)+abc(\sum a)}$  (1)

 

 Ta cần chứng minh : $\frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{\sum a^2b^2+\sum ab(a^2+b^2)+abc(\sum a)}\geq 3$
$< = > (\sum a^2+\sum ab)^2\geq 3abc(\sum a)+3\sum a^2b^2+3\sum ab(a^2+b^2)$
$< = > (\sum a^2)^2+2(\sum a^2)(\sum ab)+(\sum ab)^2\geq 3abc(\sum a)+3\sum ab(a^2+b^2)+3\sum a^2b^2$
$< = > \sum a^4+abc(\sum a)\geq \sum ab(a^2+b^2)$
$< = > a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-a)(c-b)\geq 0$

    BDT này đúng vì đó là Schur bậc 4 

 

Do đó $\frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{\sum a^2b^2+\sum ab(a^2+b^2)+abc(\sum a)}\geq 3$  (2)

 

  Từ (1),(2) $= > \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}+\sum \frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}\geq 3$  (3)

 

 Từ (3),(4) $= > \sum \frac{1}{1-a^2}+\sum \frac{1}{1-ab}\geq 9$

 

 Do đó ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Ngoài điểm rơi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ còn có hoán vị của bộ $(0;\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}$ nữa a. 

[hoctrocuaZel]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thõa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Chứng minh rằng

 

$\frac{1}{1-a^2}+\frac{1}{1-b^2}+\frac{1}{1-c^2}+\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\geq 9$

$\sum \frac{1}{a^2+b^2}+\sum \frac{1}{\sum a^2-ab}\geqslant 9\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{1-a^2}+\sum \frac{ab}{1-ab}\geqslant 3;LHS\geqslant \frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{\sum a^2(1-a^2)+\sum ab(1-ab)}=\frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{(ab+ac+bc)(a^2+b^2+c^2)+\sum a^2b^2}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum a^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum ab(a^2+b^2)$ (true)

[Nhok Tung]

$\sum \frac{1}{a^2+b^2}+\sum \frac{1}{\sum a^2-ab}\geqslant 9\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{1-a^2}+\sum \frac{ab}{1-ab}\geqslant 3;LHS\geqslant \frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{\sum a^2(1-a^2)+\sum ab(1-ab)}=\frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{(ab+ac+bc)(a^2+b^2+c^2)+\sum a^2b^2}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum a^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum ab(a^2+b^2)$ (true)

Khó hiểu wa