Chủ đề này có 1 trả lời

[hoanglong2k]

 Bài toán . Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$$8\left (a^3+b^3+c^3\right )+12 \geq (a+b+c)\left [\left (2\sqrt[3]{abc}+1\right )^2+3\right ]$$

 

[dogsteven]

Thấy rằng khi thay $(a,b,c)$ thành $\left(a,\dfrac{b+c}{2}, \dfrac{b+c}{2}\right)$ thì tổng $a+b+c$ không đổi, $abc$ tăng và $a^3+b^3+c^3$ giảm.

Đến đây có thể cho $b=c$ làm bình thường nhưng có một cách đưa về nguyên một biến, khá thú vị.

Xét dãy số $a_n,b_n,c_n$ thỏa mãn:

$a_0=a,b_0=b,c_0=c$

$a_{2n+1}=a, b_{2n+1}=c_{2n+1}$

$a_{2n+2}=b_{2n+1}, b_{2n+2}=c_{2n+2}=\dfrac{b_{2n+1}+a_{2n+1}}{2}$

Dễ thấy $\lim a_n=\lim b_n=\lim c_n=t\geqslant 0$ và khi đổi bộ $(a_k, b_k, c_k)$ thành bộ $(a_{k+1}, b_{k+1}, c_{k+1})$ thì bất đẳng thức trên càng ngày càng chặc

Bất đẳng thức cần chứng minh bắt đầu từ $k=0$, thực hiện quá trình trên liên tiếp, đến một lúc nào đó, khi $k$ đủ lớn thì $a=b=c=t$

Lúc này ta chỉ cần chứng minh $6t^3+3\geqslant 3t(t^2+t+1)\Leftrightarrow (t+1)(t-1)^2\geqslant 0$