$a,b,c>0.CMR:\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{2abc}{\prod (a+b)}\geqslant 1$
$a,b,c>0.CMR:\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{2abc}{\prod (a+b)}\geqslant 1$
#1
Đã gửi 19-07-2015 - 20:09
- Truong Gia Bao yêu thích
Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!
#2
Đã gửi 19-07-2015 - 21:50
$a,b,c>0.CMR:\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{2abc}{\prod (a+b)}\geqslant 1$
Đặt: $\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y;\frac{a}{c}=z$ thì $xyz=1$
BĐT được viết lại thành:
$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\geq 1$
Giả sử $(y-1)(z-1)\geq 0$ theo Dirichlet thì $(y+1)(z+1) \leq 2(yz+1)$
Và theo một kết quả quen thuộc thì: $\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{1}{1+yz}$
Áp dụng vào ta thu được:
$VT\geq \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{(1+x)(1+yz)}$
Kết hợp $xyz=1$ thì: $VT\geq \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{x}{(1+x)^2}+\frac{x}{x+1}=1$
#3
Đã gửi 19-07-2015 - 23:02
Cách khác ntn:
$\frac{1}{1+x}=\frac{1+m}{2};\frac{1}{1+y}=\frac{1+n}{2};\frac{1}{1+z}=\frac{1+p}{2}\Rightarrow m+n+p+mnp=0;ine\Leftrightarrow \sum (\frac{m+1}{2})^2+\frac{\prod (m+1)}{4}\geqslant 1\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2+m^2n^2p^2\geqslant 4mnp$
Đúng theo $AM-GM$ $4$ số. :v
Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh