Chủ đề này có 3 trả lời

[nhimtom]

 cho ba số a, b, c dương sao cho a+b+c =3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{a^2}{\sqrt{b(3c+a})}+\frac{b^2}{\sqrt{c(3a+b})}+\frac{c^2}{\sqrt{a(3b+c})}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 26-07-2015 - 14:59

[Hoang Nhat Tuan]

 

 

 

 

 

Ta có: $\frac{P}{4}=\sum \frac{a^2}{2\sqrt{4b(3c+a)}}\geq \sum \frac{a^2}{4b+3c+a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum (4b+3c+a)}=\frac{(a+b+c)^2}{8(a+b+c)}=\frac{3}{8}$

$=>P\geq \frac{3}{2}$

[quangnghia]

 

 

 

 

 

Ta có $2\sqrt{4b(3c+a)}\leq 4b+3c+a$

$\Rightarrow \sqrt{b(3c+a)}\leq \frac{1}{4}(4b+3c+a)$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{\sqrt{b(3c+a)}}\geq \frac{4a^{2}}{a+4b+3c}$

Thực hiện 2 bất đẳng thức tương tự, rồi cộng theo vế, ta đưa bài toán trở thành:

$\frac{a^{2}}{a+4b+3c}+\frac{b^{2}}{b+4c+3a}+\frac{c^{2}}{c+4a+3b}\geq \frac{3}{8}$

Ta có $\frac{a^{2}}{a+4b+3c}+\frac{a+4b+3c}{64}\geq \frac{a}{4}$

Thực hiện 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế, ta được: 

$\sum \frac{a^{2}}{a+4b+3c}+\frac{a+b+c}{8}\geq \frac{a+b+c}{4}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{a+4b+3c}\geq \frac{a+b+c}{8}\geq \frac{3}{8}$

P/s: lời giải toàn toàn sữ dụng bất đẳng thức Cosi 2 số ( AM-GM), phù hợp với chương trình THCS

[Minhnguyenthe333]

 cho ba số a, b, c dương sao cho a+b+c =3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{a^2}{\sqrt{b(3c+a})}+\frac{b^2}{\sqrt{c(3a+b})}+\frac{c^2}{\sqrt{a(3b+c})}$ 

Ta có:$P\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum \sqrt{b(3c+a)}}$
Lại có:$(\sum \sqrt{b(3c+a)})^2\leq 12(ab+bc+ca)\leq 4(a+b+c)^2=36$
$\Rightarrow P\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$