Đến nội dung

Hình ảnh

đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
namvk

namvk

    Tay Trái Vàng

  • Thành viên
  • 592 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ bất kì khác $A$.Trên tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BE =BA$. Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.


Tất cả là phù du.

#2
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ bất kì khác $A$.Trên tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BE =BA$. Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.

 

15150.png

a,Từ giả thiết ta có $BA$ là tiếp tuyến của $(O)$, vậy dễ có $BA^2 = BM.BN$
Nhưng mặt khác $BA = BD = BE$ nên: $BD^2 = BM.BN \\ BE^2 = BM.BN$
$\Rightarrow$ $\triangle BDM \sim \triangle BND \\ \triangle BEM \sim \triangle BNE$

$\Rightarrow$ $\angle BDM = \angle BND \\ \angle BEM = \angle BNE$

$\Rightarrow \angle BND = \angle BED$

$\Rightarrow BDNE:tgnt$

b, Chấp nhận kí hiệu $(BDNE)$ là đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$

Kẻ tiếp tuyến của $(BDNE)$ tại $N$, ta sẽ chứng minh nó cũng tiếp xúc với $(O)$ tại $N$, thật vậy:

$\angle BEN = \angle EMN = \angle MAN$ nên ta có đpcm !

p/s: bài PSW này khá hiền :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 02-07-2013 - 23:04


#3
AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ bất kì khác $A$.Trên tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BE =BA$. Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.

a) Xét $\Delta BAM$ và $\Delta BNA$ có:

$\widehat{ABN}$ chung

$\widehat{BAN}=\widehat{BNA}$

$\Rightarrow \Delta BAM \sim \Delta BNA$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BA}{BM}=\frac{BN}{BA}\Rightarrow BA^{2}=BM.BN$ mà BD=BA

$\Rightarrow BD^{2}=BM.BN$

$\Rightarrow \frac{BD}{BM}=\frac{BN}{BD}$ mà $\widehat{DBN}$ chung

$\Rightarrow \Delta BMD\sim \Delta BDN \Rightarrow \widehat{BND}=\widehat{BDM} (1)$

Lại có $\Delta BDE$ cân (BD=BE)

$\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{BED}(2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{BND}=\widehat{BED}$

Vậy tứ giác BDNE nội tiếp đường tròn

b) Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE

$\Rightarrow \widehat{BO'N}=2\widehat{BEN}$ $\Rightarrow \widehat{BEN}=\widehat{BED}+\widehat{DNE}=\widehat{BDE}+\widehat{DBN}$

Lại có: $\widehat{DMN}=\widehat{BDE}+\widehat{DBN}$

$\Rightarrow \widehat{BEN}=\widehat{DMN}\Rightarrow \widehat{BO'N}=2\widehat{DMN}\Rightarrow BNO'=\frac{180^{0}-2\widehat{DMN}}{2}=90^{0}-\widehat{DMN}(3)$

Xét (O) ta có: $\widehat{MON}=2\widehat{DMN}$

$\Rightarrow \widehat{BNO}=90^{0}-\widehat{DMN}(4)$

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \widehat{BNO'}=BNO$

$\Rightarrow$ N,O,O' thẳng hàng

Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và (O) tiếp xúc nhau

 

 

P/s: E làm hơi dài mọi người thông cảm :ohmy:  :lol:  :namtay 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 03-07-2013 - 20:41





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh