Đặt $k=\sqrt[2000]{c}$. Suy ra $\pm\frac{1+ix}{1-ix}=k$.
Ta xét phương trình $\frac{1+ix}{1-ix}=k$ (1) có các nghiệm đều là số thực.
$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \frac{\left ( 1+ix \right )^{2}}{1+x^{2}}=k\Leftrightarrow \frac{-x^{2}+2ix+1}{1+x^{2}}=k$.
Đặt $k=a+bi$ với $a,b$ là các số thực.
Khi đó $-x^{2}+1+2xi=a\left ( x^{2}+1 \right )+b\left ( x^{2}+1 \right )i$ suy ra$\left\{\begin{matrix} -x^{2}+1=a\left ( x^{2}+1 \right ) & \\ 2x=b\left ( x^{2}+1 \right )& \end{matrix}\right.$.
Bài toán trở thành tìm điều kiện của $a,b$ để hệ có nghiệm thực.
Ta có $\left\{\begin{matrix}
x^{2}=\frac{1-a}{1+a}\geq 0 & \\
& \\
b=\frac{2x}{1+x^{2}}&
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
-1<a\leq 1 & \\
-1\leq b\leq 1&
\end{matrix}\right.$
Trường hợp $a+bi=-\frac{1+ix}{1-ix}$ suy ra $a\geq -1$.
Để ý thấy $a^{2}+b^{2}=1$ (đều thỏa mãn các điều kiện trên).
Do đó $c=\left ( a+bi \right )^{2000}$ với $a,b$ là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=1$ .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 21-11-2012 - 23:15