Chủ đề này có 2 trả lời

[Bachdx]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớ nhất của biểu thức:

$$A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 26-06-2015 - 08:26

[Hoang Long Le]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớ nhất của biểu thức:

$$A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$$
 

 Áp dụng AM-GM ta có :

 $+)~~1+3x=1+6.\frac{x}{2}\geq 7\sqrt[7]{\frac{x^6}{64}}$

 

 $+)~~x+8y=x+6.\frac{4y}{3}\geq 7\sqrt[7]{\frac{4096xy^6}{729}}$

 

 $+)~~y+9z=y+6.\frac{3z}{2}\geq 7\sqrt[7]{\frac{729z^6y}{64}}$

 

 $+)~~z+6\geq 7\sqrt[7]{z}$

 

 $\Rightarrow (1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)\geq 2401\sqrt[7]{\frac{x^7y^7z^7.4096.729}{64.729.64}}=2401xyz$

 $\Rightarrow A\leq \frac{1}{2401}$

 Dấu "=" xảy ra khi $x=2;y=\frac{3}{2};z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 26-06-2015 - 09:09

[Mikhail Leptchinski]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớ nhất của biểu thức:

$$A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$$
 

Cách nữa:

Dự đoán:Max $A=\frac{1}{7^4}$

Tachứng minh:$\frac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}\leq \frac{1}{7^4}$

                          <=>$(1+3x)(\frac{x+8y}{x})(\frac{y+9z}{z})(\frac{z+6}{z})\geq 7^4$

                          <=>$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geq 7^4$

Áp dụng bất đẳng thức $Holder$ ta có:

$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geq (1+\sqrt[4]{3x.\frac{8y.9z.6}{xyz}})^4=7^4$ => điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra:$x=2;y=\frac{3}{2};z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 26-06-2015 - 15:31