a) 0,34
b)0,287
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 22-03-2013 - 22:21
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 22-03-2013 - 22:21
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 25-03-2013 - 22:48
Đề bài không sai. Chỉ là thiếu sót chút thôi!!!
Đề sửa: Trong 1 hình vuông có cạnh bằng 1, đặt một hợp $F$ mà khoảng cách giữa $2$ điểm bất kì của nó không bằng $0,0001$. Chứng minh rằng diện tích của hình đó không lớn hơn
a) $0,34$
b)$0,287$
TL:
a, Ta tịnh tiến tập $F$ sang bên phải thành $F"$ và lên trên thành $F"$ 1 khoảng bằng $0,0001$ đơn vị.
Rõ ràng ta có ${S_F}={S_F'}={S_F"}$.
Mặt khác do đề bài có hợp $F$ có khoảng cách giữa $2$ điểm bất kỳ của nó không bằng $0,0001$ đơn vị cho nên có:
$F\capF'\cap F"=\O$ .
Dễ thấy 3 tập $F,F',F"$ thuộc hình vuông có cạnh 1,0001 nên có:
$3{S_F} \leq 1,0002.... \Rightarrow 0,34$.
b,
Vì hợp $F$ có khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ trong đó không bằng 0,0001 nên mỗi hình của $F$ nằm trọn trong hình tròn đường kính $0,0001$. Gọi hình tròn chứa hình ${F_i}$ là ${A_i}$. Ta có ${S_{F_i}}\leq{S_{A_i}}$. Và cũng do hợp $F$ có khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ trong đó không bằng $0,0001$ nên ta có lân cận bán kính $0,00005$ của các hình tròn ${A_i}$ không giao nhau. Gọi hình chứa lân cận bán kính $0,00005$ của mỗi hình tròn ${S_{A_i}}$ là ${S_{B_i}}$.
Có ${S_{A_i}}\leq \frac{1}{4}.{S_{B_i}}$. Mà ${S_B}$ luôn nhỏ hơn diện tích của hình vuông cạnh 1,0001 đơn vị ( do lấy lân cận $0,0005$) nên tóm lại ta có ${S_F}\leq \frac{1}{4}.1,0001^2 \Leftrightarrow {S_F}\leq0,25....\leq 0,287$. đpcm.
---------------------------------
Một bài tương tự nhưng ý b vẫn sử dụng phép tịnh tiến + Đyrichlet:
Một tập hợp $H$ là hợp của một số đoạn thẳng nằm trong đoạn $[0;1]$. Biết khoảng cách giữa $2$ điểm bất kỳ của $H$ không bằng $0,1$. Chứng minh tổng độ dài của những đoạn thẳng tạo nên $A$ không vượt quá:
$a, 0,55.$
$b, 0,5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi em yeu chi anh: 29-03-2013 - 13:46
Sẽ cố gắng mọi điều trong cuộc sống vì anh và vì chính em!!!
Mong rằng sau này có thể giúp đỡ anh nhiều!!!
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh