Chủ đề này có 1 trả lời

[duyenmit]

Cho elip $(E):\frac{ x^{2} }{4}+ \frac{ y^{2} }{9} =1 $. Một góc vuông $\widehat{MON}$ quay quanh gốc tọa độ, với $M,N$ thuộc elip. Chứng minh $MN$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định.

[chanhquocnghiem]

Cho elip $(E):\frac{ x^{2} }{4}+ \frac{ y^{2} }{9} =1 $. Một góc vuông $\widehat{MON}$ quay quanh gốc tọa độ, với $M,N$ thuộc elip. Chứng minh $MN$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định.

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ $M$ (và $N$) đều nằm trên các trục tọa độ :

Khi đó ta có $OM=2$ , $ON=3$ hoặc $OM=3$ , $ON=2$ $\Rightarrow MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{13}$

$\Rightarrow d(O;MN)=\frac{OM.ON}{MN}=\frac{6}{\sqrt{13}}$ $\Rightarrow MN$ tiếp xúc với đường tròn $(O;\frac{6}{\sqrt{13}})$

 

$2)$ $M$ (và $N$) không nằm trên các trục tọa độ :

Giả sử hệ số góc của $OM$ là $k$ ($k\neq 0$) $\Rightarrow$ hệ số góc của $ON$ là $-\frac{1}{k}$

Gọi hoành độ của $M,N$ lần lượt là $m$ và $n$ $\Rightarrow$ tung độ của $M,N$ lần lượt là $km$ và $-\frac{n}{k}$

$M\in (E)\Rightarrow \frac{m^2}{4}+\frac{(km)^2}{9}=1\Rightarrow (4k^2+9)m^2=36$ (1)

$N\in (E)\Rightarrow \frac{n^2}{4}+\frac{(-\frac{n}{k})^2}{9}=1\Rightarrow (9k^2+4)n^2=36k^2$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow (4k^2+9)k^2m^2=(9k^2+4)n^2\Rightarrow n^2=\frac{(4k^4+9k^2)m^2}{9k^2+4}$ (3)

$OM^2=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}=m^2+k^2m^2$

$ON^2=x_{N}^{2}+y_{N}^{2}=n^2+\frac{n^2}{k^2}=\frac{(4k^4+9k^2)m^2}{9k^2+4}+\frac{(4k^2+9)m^2}{9k^2+4}$

$\Delta MON$ vuông tại $O$ $\Rightarrow MN^2=OM^2+ON^2=m^2+k^2m^2+\frac{(4k^4+9k^2)m^2}{9k^2+4}+\frac{(4k^2+9)m^2}{9k^2+4}=\frac{(13k^4+26k^2+13)m^2}{9k^2+4}$ 

Ta có $d(O;MN)=\frac{OM.ON}{MN}$ (vì $\Delta MON$ vuông tại $O$)

$OM^2.ON^2=m^2(k^2+1).n^2(\frac{1}{k^2}+1)=m^2n^2(k^2+2+\frac{1}{k^2})=\frac{(4k^4+9k^2)m^4}{9k^2+4}.\frac{k^4+2k^2+1}{k^2}=\frac{(4k^2+9)(k^4+2k^2+1)m^4}{9k^2+4}$

$\Rightarrow \frac{OM^2.ON^2}{MN^2}=\frac{(4k^2+9)m^2}{13}$ (4)

(1),(4) $\Rightarrow \frac{OM^2.ON^2}{MN^2}=\frac{36}{13}$ $\Rightarrow d(O;MN)=\frac{6}{\sqrt{13}}\Rightarrow MN$ tiếp xúc với đường tròn $(O;\frac{6}{\sqrt{13}})$

 

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có $MN$ tiếp xúc với đường tròn cố định $(O;\frac{6}{\sqrt{13}})$