Pro1: Cho A là ma trận phức cấp 2. $A \neq \lambda I$. Chứng minh rằng với mọi ma trận phức cấp 2 $X$ sao cho $AX=XA$ thì $ X = \alpha I+ \beta A$ với $\alpha , \beta \in C$
Pro2: Cho ma trận cấp 3 $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 &0 \\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$. Chứng minh rằng mọi ma trận cấp 3 thỏa mãn $AB=BA$ khi và chỉ khi $B=aI+bA+cA^{2}$ với $a, b, c \in R$
Pro3: Cho M là ma trân vuông cấp 3 với các phần tử thuộc $R[x]$ thỏa mãn $M^{3}=xI_{3}$. Đặt $N = M(0)$ (thay x=0 vào các phần tử của M).
Chứng minh rằng N đồng dạng với ma trận $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Pro1: Cho A là ma trận phức cấp 2. $A \neq \lambda I$. Chứng minh rằng với mọi ma trận phức cấp 2 $X$ sao cho $AX=XA$ thì $ X = \alpha I+ \beta A$ với $\alpha , \beta \in C$
Ta gọi đa thức đặc trưng của ma trận $A$ là $P_A(\lambda)$ do $A$ là ma trận cấp 2 cho nên ta có phân tích $P_A(\lambda)=(\lambda-p)(\lambda-q)$ với $p,q \in \mathbb{C}$.
*)Nếu $p \not=q$ thì ma trận $A$ sẽ có 2 giá trị riêng khác nhau, như thế nó sẽ chéo hóa được. Tức là tồn tại ma trận khả nghịch $P$ sao cho $P^{-1}AP=\begin{bmatrix} p &0 \\ 0&q \end{bmatrix}=A'$
Nếu $X$ là một ma trận thỏa mãn $XA=AX \Leftrightarrow P^{-1}XPP^{-1}AP=P^{-1}APP^{-1}XP \Leftrightarrow YA'=A'Y$ với ($Y=P^{-1}XP$)
Nhưng vì $A'$ là một ma trận đường chéo cho nên ma trận giao hoán với nó là ma trạn $Y$ cũng phải là ma trận đường chéo.
giả sử $Y=\begin{bmatrix} x &0 \\ 0 &y \end{bmatrix}$ thì với $\beta= \frac{x-y}{p-q} , \alpha =x-\beta p$ thì ta sẽ có:
$Y=\alpha I+\beta A'$ tương đương với $PYP^{-1}=\alpha I+\beta PA'P^{-1}$ hay chính là $X=\alpha I+\beta A$ ( đpcm)
*)Nếu $p=q=a \in \mathbb{C}$
Thì ta sẽ dàng suy ra rằng $A$ không thể có 2 vector riêng nếu không $A$ sẽ chéo hóa được, khi đó $A$ sẽ có dạng $\lambda I$ trái với giả thiết. Do đó $A$ không có đủ 2 vector riêng, suy ra $A$ sẽ chỉ có 1 vector riêng là $u_1$, ta bổ sung thêm 1 vector $u_2$ độc lập tuyến tính với $A$. gọi $Q$ là ma trận cấp 2 có 2 cột là 2 vector $u_1,u_2$ thì khi đó : $Q^{-1}AQ= \begin{bmatrix} a & b \\ 0& c \end{bmatrix}=A''$ nhưng ma trận $A''$ có đa thức đặc trưng chính là đa thức đặc trưng của $A$ cho nên $c=a$, và khi đó $A''=\begin{bmatrix} a &b \\ 0 &a \end{bmatrix}$ ( ở đây ta phải có $b \not=0$).
Giả sử $XA=AX$, suy luận tương tự ta cũng có $Y'A''=A'''Y'$ với $Y'=Q^{-1}XQ$.
gọi $Y'= \begin{bmatrix} e &g \\ h &k \end{bmatrix}$. Thì $\begin{bmatrix} e&g \\ h& k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a &b \\ 0 &a \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a &b\\ 0 &a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e &g \\ h &k \end{bmatrix}$
Nhân hết ra ta thu được: $\begin{bmatrix} ea & eb+ga \\ ah & bh+ka \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ae+bh& ag+bk \\ ah & ak \end{bmatrix}$
Từ đó ta thu được : $bh=0$ và $eb=bk$. Từ $b \not =0$ suy ra $h=0$ và $e=k$ vậy từ đó ta có $Y'=\begin{bmatrix} e &g \\ 0 &e \end{bmatrix}$
Nếu cho $\beta= \frac{g}{b}$ và $\alpha=e-\beta a$ thì ta có $Y''=\alpha I+\beta A'$ hay có nghĩa là $X=\alpha I+\beta A$. Vậy bài toán được chứng minh hòan toàn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 22-11-2014 - 12:26
Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$
$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$
$Av_S=\varphi(v)_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.
$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$
$v_S=Pv_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
https://web.facebook...73449309343792/
nhóm olp 2016
