Chủ đề này có 4 trả lời

[kelieulinh]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $M$ là một điểm bất kì, $X,Y,Z,T,U,V$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $AB,CD,AC,BD,AD,BC$. Gọi $E,F,G$ thứ tự là trung điểm của $XY,ZT,UV$ .Chứng minh rằng $E,F,G$ thẳng hàng.

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 25/12 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 14-02-2013 - 20:37

[Trungpbc]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $M$ là một điểm bất kì, $X,Y,Z,T,U,V$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $AB,CD,AC,BD,AD,BC$. Gọi $E,F,G$ thứ tự là trung điểm của $XY,ZT,UV$ .Chứng minh rằng $E,F,G$ thẳng hàng.

Lời giải. Có ba khả năng xảy ra:
Khả năng 1. $M\equiv O$, khi đó $E,F,G$ trùng với trọng tâm $I$ của tứ giác $ABCD$, ta có đpcm.
Khả năng 2. $M\in \left ( O \right )$, khi đó, theo định lí về đường thẳng Simson ta có các bộ ba điểm$(X,Z,V); (V,Y,T); (Z,Y,U); (U,T,X)$ thẳng hàng nên $E,F,G$ là đường thẳng Gauss trong tứ giác toàn phần tạo bởi các điểm $X, Y, Z, T, U, V$. Và hiển nhiên ta có kết quả bài toán.
Khả năng 3. $M\notin \left ( O \right )$ và $M\not\equiv O$, gọi ${M}'\in OM\cap \left ( O \right )$ và ${X}',{Y}',{Z}',{T}',{U}',{V}'$ là hình chiếu của ${M}'$ trên các đường thẳng $AB,CD,AC,BD,AD,BC$. Vì $O,M,M'$ thẳng hàng nên các bộ ba điểm $(I,G,G'), (I,E,E'), (I,F,F')$ thẳng hàng và $\frac{\overline{IG}}{\overline{I{G}'}}=\frac{\overline{IE}}{\overline{I{E}'}}=\frac{\overline{IF}}{\overline{I{F}'}}$. Từ đó, với chú ý $E',F',G'$ thẳng hàng nên theo phép vị tự ta có $E,F,G$ thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trungpbc: 25-12-2012 - 00:00

[robin997]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $M$ là một điểm bất kì, $X,Y,Z,T,U,V$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $AB,CD,AC,BD,AD,BC$. Gọi $E,F,G$ thứ tự là trung điểm của $XY,ZT,UV$ .Chứng minh rằng $E,F,G$ thẳng hàng.

Giải:
-Chọn trục vuông góc nhận đường tròn ngoại tiếp $ABCD$ làm đường tròn đơn vị.
Lấy $z$ là tọa vị điểm $Z$ trong mặt phẳng: ( $a\bar{a}=b\bar{b}=c\bar{c}=d\bar{d}=1$ )
-Ta có với $M$ bất kì, chân đường vuông góc xuống dây cung $WS$ của đường tròn đơn vị sẽ là:
$2h_{ws}(m)=w+s+m-ws\bar{m}$ $(*)$ ( Với $h_{ws}(m)$ là tọa vị chân vuông góc)
-Theo đó:
$4e=2h_{ab}(m)+2h_{cd}(m)=a+b+c+d+2m-\bar{m}(ab+cd)$
$4f=2h_{ac}(m)+2h_{bd}(m)=a+b+c+d+2m-\bar{m}(ac+bd)$
$4g=2h_{ad}(m)+2h_{bc}(m)=a+b+c+d+2m-\bar{m}(ad+bc)$
Nên: $\frac{e-f}{g-f}=\frac{4(e-f)}{4(g-d)}=\frac{\bar{m}(ab+cd-ac-bd)}{\bar{m}(ad+bc-ac-bd)}$
$=\frac{ab+cd-ac-bd}{ad+bc-ac-bd}=\frac{\frac{ab+cd-ac-bd}{abcd}}{\frac{ad+bc-ac-bd}{abcd}}=\frac{\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bd}}{\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bd}}=\frac{\bar{ab}+\bar{cd}-\bar{ac}-\bar{bd}}{\bar{ad}+\bar{bc}-\bar{ac}-\bar{bd}}={\frac{\bar{e}-\bar{f}}{\bar{g}-\bar{f}}}$
Do đó: $\vec{FE}||\vec{FG}$ Hay $E,F,G$ thẳng hàng với $M$ bất kì trong cùng mặt phẳng :')

-Ta luôn có $(*)$, bởi lấy $I$ là chân vuông góc với tọa vị $j$ :
+$I\in WS\Leftrightarrow j+ws\bar{j}=w+s$ $(1)$
+$IM\perp WS\Leftrightarrow (\bar{j}-\bar{m})(w-s)=-(j-m)(\bar{w}-\bar{s})=(j-m)\frac{w-s}{ws}\Leftrightarrow \bar{j}=\bar{m}+(j-m)\bar{ws}(2)$
-$(1)$ và $(2)$,ta có: $2j=2h_{ws}(m)=w+s+m-ws\bar{m}$ ^^~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 25-12-2012 - 06:12

[PSW]

Chấm bài:
Trungpbc: 50 điểm