Chủ đề này có 3 trả lời

[Dava_Truong]

Khẳng định hay bác bỏ mệnh đề sau:

"Với mọi ma trận suy biến thực A , tồn tại ma trận (có thể là phức) thỏa mãn phương trình $XAX=A^2$" ????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 08-08-2013 - 09:03

[Dava_Truong]

Khẳng định hay bác bỏ mệnh đề sau:
"Với mọi ma trận suy biến thực A , tồn tại ma trận (có thể là phức) thỏa mãn phương trình :XAX=$ A^2$" ????

Có thể khẳng định là mệnh đề sai với ma trận X thực.Chẳng hạn xét ma trận sau:A=
|0 0 ... 0 0|
|0 0 ... 0 0|
|..............| thì kô tồn tại ma trận X thực thỏa mãn.
|0 0 ... 0 0|
|0 0 ... 0 -1|
Còn ma trận phức thì chưa có câu trả lời

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dava_Truong: 15-09-2007 - 18:31

[Dava_Truong]

Từ phương trình:
$XAX= A^2 $ ta nhân cả 2 vế với $X$ và thu được:
$XAXA$$=$$A^3$.Đặt $XA=Y $như vậy đi giải quyết vấn đề :$Y^2=A^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dava_Truong: 16-09-2007 - 11:10

[Dava_Truong]

Trường hợp $n=2 $có thể khẳng định là tồn tại.Thật vậy, do $det A=0$ nên $A^2=kA $ với $ k \in R$.
Ta tìm X dưới dạng:
$X=k^ \alpha A$.Biến đổi theo phương trình ta có:$k^{2 \alpha +2}=k$.Dễ thấy với $ k=0$ thì tồn tại , bây giờ ta xét với $k \neq 0$.Nghĩa là $2\alpha =-1$$ \Leftrightarrow $ $\alpha =- \dfrac{1}{2} $.Như vậy tồn tại $X=k^{-1/2}A$là ma trận phức thỏa mãn phương trình đã cho.