Trong các số
$$C_{2007}^0, C_{2007}^1, C_{2007}^2,...,C_{2007}^{ 2007}$$
có bao nhiêu số chẵn?
Hãy tổng quát hóa bài toán
Trong các số
$$C_{2007}^0, C_{2007}^1, C_{2007}^2,...,C_{2007}^{ 2007}$$
có bao nhiêu số chẵn?
Hãy tổng quát hóa bài toán
Trong các số
$$C_{2007}^0, C_{2007}^1, C_{2007}^2,...,C_{2007}^{ 2007}$$
có bao nhiêu số chẵn?
Hãy tổng quát hóa bài toán
Giải như sau:
Quy ước kí hiệu $C_n^m=\binom{n}{m}$
Theo định lý Lucas ta có
$\binom{n}{m} \equiv \prod\binom{n_i}{m_i} \pmod{2}$
Với $n=n_k.2^k+n_{k-1}.2^{k-1}+...+n_1.2+n_0$ và $m=m_k.2^k+m_{k-1}.2^{k-1}+...+m_1.2+m_0$
Khi đó $\binom{n}{m} \vdots 2$ khi và chỉ khi tồn tại $\binom{n_i}{m_i} \vdots 2$ mà $\binom{n_i}{m_i} \in (\binom{1}{0},\binom{0}{1},\binom{1}{1},\binom{0}{0})$
Do đó $\binom{n_i}{m_i} \vdots 2$ khi và chỉ khi $n_i=0,m_i=1$ khi đó $\binom{0}{1}$ quy ước là $0$ và từ đó có hệ quả $\binom{n}{m}$ lẻ khi và chỉ khi với mọi $i=(1,2,...,k)$ thì $n_i\geq m_i$ $(1)$
Áp dụng vào bài toán $2007=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4+2^2+2+1$
Theo hệ quả $(1)$ ta sẽ tính số số lẻ trong dãy $\binom{2007}{i}$
Khi đó đặt $i=a_{10}.2^{10}+a_9.2^9+a_8.2^8+...+a_1.2+a_0$ khi đó theo hệ quả $(1)$ $\binom{2007}{i}$ lẻ khi và chỉ khi $a_{10},a_{9},...,a_7,a_6,a_4,a_2,a_1,a_0\le 1$ và $a_5,a_3=0$
Do đó các số $a_{10},a_{9},...,a_7,a_6,a_4,a_2,a_1,a_0$ chỉ nhận một trong hai giá trị là $0,1$ nên số cách chọn là $2^9$
Do đó có $2^9$ số lẻ trong dãy trên như vậy có $2007+1-2^9=1496$ số chẵn
$$**********$$
Nhìn vào lời giải trên chắc chúng ta cũng tổng quát được
Tổng quát, cho dãy $\binom{n}{0},\binom{n}{1},...,\binom{n}{n}$ $(2)$
Và biểu diễn theo cơ số $2$ của $n$ là $a_k.2^k+a_{k-1}.2^{k-1}+...+a_1.2+a_0$ và trong các số $a_i$ có $p$ số là $1$
Khi đó số số lẻ trong $(2)$ là $2^p$ số, số số chẵn là $n+1-2^p$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 15-06-2013 - 10:58
Trong các số
$$C_{2007}^0, C_{2007}^1, C_{2007}^2,...,C_{2007}^{ 2007}$$
có bao nhiêu số chẵn?
Hãy tổng quát hóa bài toán
Em tổng quát hóa + giải tổng quát luôn (thực ra bài này rất dễ):
Trong các số $C_{n}^0, C_{n}^1, C_{n}^2,\ldots,C_{n}^{n}$ (với $n \in \mathbb Z^+$)
Trong tam giác Pascal thì mỗi $C_{n}^0, C_{n}^1, C_{n}^2,\ldots,C_{n}^{ n}$ là các số ở hàng thứ $n$
Mà hàng thứ $n$ thì luôn có $n+1$ số.
Do đó ta chỉ cần đếm số số chẵn trong mỗi hàng bằng cách đếm số số lẻ. Ta có cách làm sau:
Để đếm số số hạng lẻ trong cột $n$, chuyển $n$ qua hệ nhị phân. Goi $x$ là số chữ số một của $n_{(2)}$. Số số hạng lẻ sẽ là $2^x.$
Parity: To count odd terms in row $n$, convert n to binary. Let $x$ be the number of $1$s in the binary representation. Then number of odd terms will be $2^x$
Chứng minh: Xem ở file đính kèm Odd Coefficients.pdf 56.15K 2135 Số lần tải (cái này em Google Search)
Áp dụng vào bài toán
Có $2007 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 4 + 2 + 1$
Nên có dạng nhị phân là $11111010111.$ ($9$ số $1$)
Vậy số số chẵn trong dãy mà đầu bài cho sẽ là: $\boxed{2007 +1 - 2^{9} = 1496}$
Nguyên nhanh tay quá
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 15-06-2013 - 11:15
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
Vậy số số chẵn trong dãy mà đầu bài cho sẽ là: $\boxed{2007 - 2^{9} = 1495}$
Bạn quên mất còn số $0$ là, phải là $2007+1-2^9=1496$
1 bài toán cũng gần giống với bài trên:
Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho các số $\binom{n}{0};\binom{n}{1};...;\binom{n}{n}$ đều là số lẻ.
Bài này được trích ra từ topic Số học-Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro-Bài toán 25.
Nguyên nhanh quá
Mình đang định làm
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh