Chủ đề này có 6 trả lời

[lehoan]

Cho tam giác $ABC$ có $M$ thuộc miền trong của tam giác. Các đường thẳng $AM;BM;CM$ cắt đường tròn $(ABC)$ tại $A',B',C'$. Gọi $r$ và $r'$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$ và $A'B'C'$, còn $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Chứng minh rằng:

$$4rr'\le R^2-OM^2$$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 29-10-2013 - 16:50

[perfectstrong]

Lời giải:

Từ (1) trong http://diendantoanho...cma-1-dạt-gtnn/

Ta có:\[
\frac{{MA.BC}}{{B_1 C_1 }} = \frac{{MB.MC}}{{MA_1 }} = \frac{{MA.MB.MC}}{{MA.MA_1 }} = \frac{{MA.MB.MC}}{{R^2  - OM^2 }}
\]
Do đó, kết hợp với kết quả bài toán trong link trên, ta có:\[
\frac{{MA.MB.MC}}{{R^2  - OM^2 }} \ge 2r
\]
Áp dụng tương tự cho $\triangle A_1B_1C_1$ thì ta cũng có\[
\frac{{MA_1 .MB_1 .MC_1 }}{{R^2  - OM^2 }} \ge 2r_1
\]
Cho nên\[
4rr_1  = 2r.2r_1  \le \frac{{MA.MB.MC}}{{R^2  - OM^2 }}.\frac{{MA_1 .MB_1 .MC_1 }}{{R^2  - OM^2 }} = \frac{{\left( {R^2  - OM^2 } \right)^3 }}{{\left( {R^2  - OM^2 } \right)^2 }} = R^2  - OM^2
\]
Ta có đpcm.

[ngoctruong236]

 

Từ (1) trong http://diendantoanho...cma-1-dạt-gtnn/

Ta có:

MA.BCB1C1=MB.MCMA1=MA.MB.MCMA.MA1=MA.MB.MCR2 −OM2

 

Do đó, kết hợp với kết quả bài toán trong link trên, ta có:

MA.MB.MCR2 −OM2≥2r

 

Áp dụng tương tự cho △A1B1C1 thì ta cũng có

MA1.MB1.MC1R2 −OM2≥2r1

 

Cho nên

4rr1 =2r.2r1 ≤MA.MB.MCR2 −OM2.MA1.MB1.MC1R2 −OM2=(R2 −OM2)3(R2 −OM2)2=R2 −OM2

 

ko nham thi bai nay giai vay

[aao5717]

 

 

Từ (1) trong http://diendantoanho...cma-1-dạt-gtnn/

Ta có:

MA.BCB1C1=MB.MCMA1=MA.MB.MCMA.MA1=MA.MB.MCR2 −OM2

 

Do đó, kết hợp với kết quả bài toán trong link trên, ta có:

MA.MB.MCR2 −OM2≥2r

 

Áp dụng tương tự cho △A1B1C1 thì ta cũng có

MA1.MB1.MC1R2 −OM2≥2r1

 

Cho nên

4rr1 =2r.2r1 ≤MA.MB.MCR2 −OM2.MA1.MB1.MC1R2 −OM2=(R2 −OM2)3(R2 −OM2)2=R2 −OM2

 

ko nham thi bai nay giai vay

 

trời nhìn wa tưởng bạn coppy của anh perfectstrong!!!

[AnnieSally]

Ta có: $MA.MA'=R^{2}-OM^{2}$

Ta có BĐT sau:

 

$\frac{MA.MB.MC}{MA.MA'}=\frac{MA.MB.MC}{R^{2}-OM^{2}}\geq 2r$

 

Áp dụng tương tự cho tam giác A'B'C'

 

$\Rightarrow \frac{MA'.MB'.MC'}{R^{2}-OM^{2}}\geq 2r'\Rightarrow 4rr'\leq \frac{MA.MB.MC}{R^{2}-OM^{2}}.\frac{MA'.MB'.MC'}{R^{2}-OM^{2}}$

 

$=\frac{(MA.MA')(MB.MB')(MC.MC')}{(R^{2}-OM^{2})^{2}}=\frac{(R^{2}-OM^{{2}})^{{3}}}{(R^{{2}}-OM^{{2}})^{{2}}}$$=R^{{2}}-OM^{{2}}$ (đpcm)

 

 

P/s: bài này hình như chỉ có mỗi cách này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 27-09-2013 - 16:31

[nghiemthanhbach]

bài này trong sách bt toán 9 của Thăng Long cũng có

[PSW]

Chấm điểm: perfectstrong : 10 điểm