Chủ đề này có 1 trả lời

[duca1pbc]

Cho $\triangle ABC $ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$,gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là chân đường vuông góc của $A,B,C$ xuống các cạnh dối diện.$A_2,B_2,C_2$ lần lượt là điểm đối xứng của $A_1,B_1,C_1$ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$.Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AB_2C_2,BC_2A_2,CA_2B_2$ cắt $(O)$ tại các điểm thứ hai là $A_3,B_3,C_3$.Chứng minh $A_1A_3,B_1B_3,C_1C_3$ đồng quy

[thaygiaophuong]

Cho $\triangle ABC $ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$,gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là chân đường vuông góc của $A,B,C$ xuống các cạnh dối diện.$A_2,B_2,C_2$ lần lượt là điểm đối xứng của $A_1,B_1,C_1$ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$.Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AB_2C_2,BC_2A_2,CA_2B_2$ cắt $(O)$ tại các điểm thứ hai là $A_3,B_3,C_3$.Chứng minh $A_1A_3,B_1B_3,C_1C_3$ đồng quy

Bài 1 khá dễ. Dễ nhận ra $AA_3$ song song với $BC$, từ đó suy ra $A_1A_3$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Gọi $S$ là điểm đối xứng của $H$ qua $O$. Ta có
$SA_2\bot BC,SB_2 \bot CA,SC_2 \bot AB$.
Do đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác $AB_2 C_2$ là đường tròn đường kính $SA$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$ thì $SD \bot BC$. Do $ \widehat{AA_3 D}=90^0 $ nên $A_3$ thuộc đường thẳng $SD$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Do $MA_1 || AA_3$ và $MA_1=1/2 AA_3$ nên $A_1 A_3$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Chứng minh tương tự ta cũng có $B_1 B_3$ và $C_1 C_3$ đi qua $G$.