Chủ đề này có 1 trả lời

[QuangDau]

1) Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n$ thỏa mãn $rank(A)=1$, $rank(I_n-A^{2009}) \leq n-1$. Chứng minh rằng $I_n-A$ là ma trận suy biến .

 

2) Cho $A,B$ là hai ma trận phức vuông cấp $n$ thỏa mãn $A^2=A,B^2=B$ và $rank(A)=rank(B)$ chứng minh rằng $A,B$ là tương tự với nhau .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 29-11-2014 - 10:29

[quangbinng]

1) Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n$ thỏa mãn $rank(A)=1$, $rank(I_n-A^{2009}) \leq n-1$. Chứng minh rằng $I_n-A)\$ là ma trận suy biến .

2) Cho $A,B$ là hai ma trận phức vuông cấp $n$ thỏa mãn $A^2=A,B^2=B$ và $rank(A)=rank(B)$ chứng minh rằng $A,B$ là tương tự với nhau .

 

 

 

2) Cho $A,B$ là hai ma trận phức vuông cấp $n$ thỏa mãn $A^2=A,B^2=B$ và $rank(A)=rank(B)$ chứng minh rằng $A,B$ là tương tự với nhau .

 

Ta sẽ chứng minh rằng với một toán tử $f_V$ bất kì thỏa mãn $f^2=f$ thì $f$ chéo hóa được:

 

Ta sẽ chứng minh $V=\text{im } f \oplus \ker f$. Theo định lí không gian ảnh và không gian giao ta đã có : $\dim V=\dim \ker f+\dim \text{im } f$ cho nên để chứng minh  $V=\text{im } f \oplus \ker f$ ta cần chỉ ra rằng $\ker f  \cap  \text{im } f=\{0\}$. Thật vậy, giả sử $\alpha \in (\ker f \cap \text{im } f)$ thì: thứ nhất, do $\alpha \in \ker f$ cho nên $f(\alpha)=0$, thứ 2, do $\alpha \in \text{im } f$ cho nên tồn tại $\beta \in V$ sao cho $f(\beta)=\alpha$. Kết hợp 2 điều này ta thu được : $0=f(\alpha)=f(f(\beta))=f(\beta)=\alpha$ tức là $0=\alpha$. Vậy ta đã có $V=\text{im } f \oplus \ker f$.

 

Giả sử $rank f=m$ tức $\text{im } f$ có cơ sở là các vector $\{v_1,v_2,..,v_m\}$. Ở phần trên ta cũng đã chứng minh mọi $\alpha \in \text{im } f$ thì $f(\alpha)=f(f(\beta))=f(\beta)=\alpha=1.\alpha$, tức là $v_1,v_2,...,v_m$ là $m$ vector riêng độc lập tuyến tính có giá trị riêng là $1$.

Từ $V=\text{im } f \oplus \ker f$ nên $\ker f$ sẽ có cơ sở là $\{v_{m+1},v_{m+2},..,v_n\}$. nhưng các vector độc lập tuyến tính này lại cũng là các vector riêng ứng với giá trị riêng là $0$.

Từ đó ta rút ra $f$ có đủ $n$ vector riêng $\{v_1,v_2,..,v_n\}$  suy ra $f$ chéo hóa được, do $f$ có $m$ vector cơ sở ứng với giá trị riêng $1$, vậy ma trận biểu diễn của $f$ có dạng $P^{-1}\begin{bmatrix} I_m &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}P$. 

 

Quay trở lại bài toán, áp dụng các kết quả trên và giả sử $A$ và $B$ là các ma trận biểu diễn các toán tử tuyến tính. thì ta sẽ có:

 

$A=S^{-1}\begin{bmatrix} I_m &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}S$ và $B=T^{-1}\begin{bmatrix} I_m &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}T$

 

Tức là $A,B$ đồng dạng với $\begin{bmatrix} I_m &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ hay $A$ và $B$ đồng dạng với nhau.