Đến nội dung

Hình ảnh

các bạn chứng minh giúp định lí lyness


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Edogawa Conan

Edogawa Conan

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
Nếu đường tròn (O) tiếp xúc trong với đường ngoại tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC của tam giác tại E, F thì EF đi qua tâm dường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Edogawa Conan: 27-01-2010 - 17:45


#2
Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết

Nếu đường tròn (O) tiếp xúc trong với đường ngoại tiếp tam giác ABC tại T và tiếp xúc với các cạnh AB, AC của tam giác tại E, F thì EF đi qua tâm dường tròn nội tiếp tam giác ABC

Cách chứng minh này khá hay:

Trước tiên, ta sẽ chứng minh 2 bổ đề:
- Bổ đề 1: AB là dây của một đường tròn tâm (O). Đường tròn (I) tiếp xúc với dây AB tại K và tiếp xúc trong với (O) tại T. Chứng minh L là trung điểm của dây AB không chứ T và $LA^{2} = LK.LT$
- Bổ đề 2: Điểm M là trung điểm cung BC không chứa A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Điểm I thuộc đoạn MA sao cho MI = MB. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Quay lại việc chứng minh định lí Lyness. Kẻ TF giao (O) tại P, BP cắt EF tại H.
Theo bổ đề 1 ta có BP là phân giác của góc B.
Ta có: $\widehat{HET} = \widehat{HBT} (= \widehat{FTx}) \Rightarrow HEBT_{nt} \Rightarrow \widehat{THB} = \widehat{TEB}$
mà $\widehat{TEB} = \widehat{TFE} \Rightarrow \widehat{TFE} = \widehat{THB}$
$\Rightarrow \Delta PHF ~ \Delta PTH \Rightarrow PH^{2} = PF.PT$
Theo bổ đề 1, ta có: $PC^{2} = PF.PT \Rightarrow PC = PH$
Theo bổ đề 2, ta được H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

"God made the integers, all else is the work of men"


#3
cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 544 Bài viết
L là điểm nào zậy ( bổ đề 1),
C/m bổ đề 1 thế nào & áp dụng vào bài toán chính ra lam` sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vtduy97: 04-06-2012 - 21:15

Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 


#4
hongcho24031997

hongcho24031997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

L là điểm nào zậy ( bổ đề 1)


điểm chính giữa cung AB k chứa T

T hj vọng là khj lên ckuyên rùj, gặp nkiều ng pạn ms, sống trog môj trường học tập ms, thầy cô gjáo ms, thì m kũg ko pao gjờ quên t, kũg nkư k pao gjờ quên 9a2 mìnk, t ngkĩ là nkữg ngày thág m sốg cùg t sẽ ko quá mờ nkạt để m quên đj tất cả đúg ko? Nhưg nếu thờj gjan làm m quên đj 1 ckút thì kũg đừg quên luôn t là aj nka. Đừg để đến khj m onl thấy trog list pạn pè kủa m thấy Nguyễn Bạck Dươg rùj k nkớ là aj luôn đấy nké Thỉnk thoảng về ckơj vs t, k thì t pùn ckết mất Tất cả nkữg đứa thân nkất vs t, hầu nkư lên ckuyên hết uj, nản wá, thật học vs lớp khác nản ckết luôn Chị t sắp cưới, khj đó nkất địnk m fảj về nkà t đấy nká

Khj nào m cướj, cũg nkất địnk fảj mờj t đến Thôj, thế thôj. Tóm lạj là dù thế nào thì kũg k đk quên t đâu đấy nká, hj vọg t vs m vs kn hs vs kn nx mãj thân nké. Ckúg m k đk pỏ t đâu đấy, hjx

#5
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

L là điểm nào zậy ( bổ đề 1),
C/m bổ đề 1 thế nào & áp dụng vào bài toán chính ra lam` sao?

Thứ nhất cách vẽ: Từ L kẻ đuờng thẳng cắt AB, (O) tại K, T. Từ K kẻ đừong vuông góc AB cắt OT tại I. Xong cách dựng.

Thứ hai chứng minh bổ đề:

Điều kiện cần: Giả sử L là trung điểm của cung AB không chứa T.

Dễ thấy hai tam giác LKA và LAT đồng dạng.

Nên suy ra: $LA^2=LK.LT$

Điều kiện đủ: Giả sử ta có: $LA^2=LK.LT$

Suy ra: Hai tam giác LKA và LAT đồng dạng.

Suy ra: LA=LB

Nên L là trung điểm của cung AB không chứa T.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 26-07-2015 - 10:20


#6
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

Thứ nhất cách vẽ: Từ L kẻ đuờng thẳng cắt AB, (O) tại K, T. Từ K kẻ đừong vuông góc AB cắt OT tại I. Xong cách dựng.

Thứ hai chứng minh bổ đề:

Điều kiện cần: Giả sử L là trung điểm của cung AB không chứa T.

Dễ thấy hai tam giác LKA và LAT đồng dạng.

Nên suy ra: $LA^2=LK.LT$

Điều kiện đủ: Giả sử ta có: $LA^2=LK.LT$

Suy ra: Hai tam giác LKA và LAT đồng dạng.

Suy ra: LA=LB

Nên L là trung điểm của cung AB không chứa T.

Thế còn cách dựng đường tròn tiếp xúc với $AD,DC$ ,tiếp xúc trong với $(O)$ 

                               đường tròn tiếp xúc với $AD,DB$ ,tiếp xúc trong với $(O)$   ($D$ nằm trên $BC$ )


Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#7
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Thế còn cách dựng đường tròn tiếp xúc với $AD,DC$ ,tiếp xúc trong với $(O)$ 

                               đường tròn tiếp xúc với $AD,DB$ ,tiếp xúc trong với $(O)$   ($D$ nằm trên $BC$ )

Trả lời câu hỏi 1 trước câu hỏi 1 liên quan đến bài hơn (câu hỏi 2 là định lý Lyness mở rộng đợi mình học xong phép vị tự mình có thể sẽ nêu được cách dựng :v )

 

Giả sử dựng được điểm $O_1$ thỏa mãn đề bài

 

Ta biểu diễn $AI, AO_1, IO_1, OO_1, OI, OA$ theo r, p, R ( r,p lần lượt bán kính đường tròn nội tiếp $I, O_1$ )

Áp dụng định lý Stewart cho tam giác $AOO_1$ ta có:

 

$OO_1^2.AI+OA^2.O_1I-OI^2.AO1=AI.O_1I.AO_1$

Ta tính được $sin^2\frac{A}{2}=1-\frac{r}{p}$. Tính được p.

Mặt khác: $sin^2\frac{A}{2}=\frac{p^2}{AO_1^2}$

Dễ dàng xác định được điểm $O_1$



#8
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

Trả lời câu hỏi 1 trước câu hỏi 1 liên quan đến bài hơn (câu hỏi 2 là định lý Lyness mở rộng đợi mình học xong phép vị tự mình có thể sẽ nêu được cách dựng :v )

 

Sao lại vị tự mà không phải là nghịch đảo  :icon6:


Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh